DlFFÉRENTIÂTIOir DES PUISSANCES d'uNB FONCTION
— Soit u une fonction de x et considérons la puissance
l'exposant m étant une constante.
1** Si m est un entier positif, j" est le produit de m facteurs égaux à li; par suite, la différentielle logarithmique dej- sera égale à la somme des différentielles logarithmiques de ces facteurs ; on aura donc
f . dr du
^ jr u
2^ Si m est un nombre fractionnaire positif, soit t son dénominateur, on aura
dy
La différentielle logarithmique de j^' est i -^ ? celle de u**'
est mi — j car mi est un nombre entier: on a donc u
dy du
i — = mi — 7
jr u
et, en supprimant le facteur i, on retrouve la formule 'a). '6^ Si m est un nombre négatif entier ou fractionnaire, on aura par la formule (i)
La fonction j^u"-"» étant constante, sa différentielle est
dy din'^"^^
nulle et sa différentielle logarithmique — - H ^ Test
d(u~'**) aussi. D'ailleurs, — m étant un nombre positif, --—
est égal à — m — ^ donc on a
dy du
ce qui n'est autre chose que la formule (a).
CRAPITRC II. 35
Ainsi la formule ( a) est générale el elle subsiste quel que soit l'exposant constant m. En la multipliant par la formule (i), il vient
(3) dx=.mu'^-^du.
Il résulte de là que la différentielle de la puissance de degré m d'une fonction est égale au produit de l'exposant ni par la puissance de degré ni — i de la fonction et par la différentielle de cette fonction.
Si la fonction u se réduit à la variable indépendante OTy on a
et ^
dy = mx'^~-^ d.T,
U faut remarquer le cas de m = - qui se présente fréquemment. Alors la formule (t) devient
et la formule (3) donne
djr=—^.
applications des règles précédentes.
27. Toute fonction algébrique explicite peut s'obtenir en exécutant sur la variable x et sur des constantes un nombre limité d'opérations algébriques ; on pourra donc toujours calculer la différentielle d'une telle fonction par le moyen des règles que nous venons d'établir. Nous allons présenter ici quelques exemples.
i*» Soit
7" = Aor"* -4- B or» -h C.rP -1- . . . ,
Ay By Cy • • • étant des constantes données, ainsi que
36 CALCUL DIFFÉREIÏTIEL.
ni, n, pj • , .. On aura immédiatement, par l'application des règles relatives à Taddition, à la multiplication et à Télévation aux puissances,
a^ Soit
a, bf Cf e étant des constantes. On peut écrire
on est alors dans le cas que nous venons d'examiner et l'on a
ou
dy = ( — -^ ~^ - j,) «fe.
3^ Soit
jr =:j:^[a* -+- x^ ) sja^ — or* ,
a étant une constante.
On peut écrire
puis
dy = )/a^^x^,d{a*x* H-x*) -H [a^x^-hx^] d ^.a^ — x^
= ^rt* — x^ [la^x -H [^a^ ) dx — [c^x- -+- x*y —^
.rdx
OU
( 2ût* -î- rt^.r' — 5.r* \ xdx
dy = i '■ »
y'a' — or*
4° Soit
a, 6, m, /i étant des constantes.
