CHAPITRE II
On a
OU
dy = mnax"^^ [ax'^ 4- b)^''^dx,
application à quelques problèmes simples.
28. Les règles précédentes suffisent pour résoudre quelques problèmes; il ne sera pas inutile d'en donner des exemples. Ceux que nous allons présenter sont empruntés à la Géométrie, et il nous faut rappeler d'abord des locutions usitées dans la théorie des courbes. Lorsqu'une courbe est rapportée à deux axes de coordonnées rectilignes, si l'on mène par l'un de ses points la tangente et la normale, les parties de ces lignes comprises entre le point de la courbe et l'axe des abscisses sont dites respectivement longueur de la tangente, longueur de la normale; en outre, les projections des mêmes lignes sur l'axe des abscisses prennent le nom de sous-tangente et de sous-normale.
29. Problème L — Tr ouvrer la courbe dans laquelle la sous-normale est égale à une constante donnée p,
Soîentor étales coordonnées rectangulaires d'un point M de la courbe cherchée ; y peut être regardée comme une fonctionde or, etc'est cette fonction qu'il faut trouver. Menons l'ordonnée MP du point M et la normale MN, la sous-normale PN est égale à l'ordonnée MP = j* multipliée par la tangente de l'angle PMN. Mais cet angle
38 CALCUL DIFFÉHEWTIEL.
est égal à l'angle MT j: que la tangente en M à la courbe
dy
fait avec Taxe des abscisses : il a donc pour tangente — •
Ainsi la condition du problème est exprimée par Téquation
ou
'i.y dy z= 2p dx.
Le premier membre de cette équation est la différentielle de j^*, diaprés le principe fondamental du n** 21 ; le second membre est la différentielle de 2px. Nous avons donc deux fonctions de x, savoir
r' et 2/7 .T,
qui ont des différentielles égales ou, ce qui revient au même, des dérivées égales; donc ces fonctions ne peuvent différer que par une constante, et Ton a
y^ =z ipx H- C,
C étant une constante arbitraire.
Les paraboles de paramètre /?, et dont l'axe coïncide avec la droite sur laquelle oii compte les sous-normales, sont donc les seules courbes qui répondent à la question.
30. Problème II. — Tromper la courbe dans laquelle la normale est égale à une constante donnée a.
On voit sur la figure du n° 29 que le carré de la nor-
maie est égal au carré de la sous-normalc j- y- plus le carré de l'ordonnée ; on a donc
k-y^^ar.
Cette équation est satisfaite quand on pose j^ = rh a.
