CHAPITRE XII

et la formule (i) devient

Lorsque le degré de F(a:) est inférieur au degré m de /{jc), la partie entière E(a:) se réduit à zéro, et Ton a simplement

Soit

F(x) = Po-r"»-! ^- P,:r'"-« -h . . . -i- P,„,x + P;„^,.

Si Ton multiplie la formule (4) pary(x) et qu'on ordonne le second membre par rapport aux puissances décroissantes de jCf le coefficient de x'""* sera évidemment

Fia) . F(7;) F[l]

et cette somme sera égale à Pq ; on a donc

le signe \ indiquant qu'il faut remplacer x par chacune

des m racines de l'équation y(x) = o, et faire la somme des résultats. Si la fonction F(x) est au plus du degré m — 2, la quantité Po est nulle et l'on a dans ce cas

formule qui est utile dans plusieurs circonstances.

6oO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Méthodes pour effectuer la décomposition d' une fonction rationnelle, dans le cas général.

39S. Le théorème I du n° 392, par lequel on démontre la possibilité de la décomposition, donne aussi le moyen de l'efiectuer. En effet, si Ton fait

f[x) = [x-aYf,[x), nous avons vu que Ton a

en posant

Xz=i——. et Fi X — ;

on a ainsi Tune des fractions simples demandées, et, pour trouver les autres, il suffira d'appliquer le même théorème à la fraction complémentaire

[x^aY-^J\[x)

Dans le cas où l'équation /"(x) = o n'a que des racines simples, on retrouve facilement de cette manière la formule établie au numéro précédent; mais, ce cas excepté, l'emploi du procédé dont il vient d'être question exige des calculs assez pénibles.

396. On peut aussi employer la méthode des coefficients indéterminés dont nous avons déjà fait usage au n^ 394. Soit la fraction rationnelle

F/jr]