CHAPITRE XII. 6o

et que Ton écrive a 4- A au lieu de x, la formule (i) du numéro précédent, multipliée par A*, deviendra

et Ton voit que le polynôme

A -h Al A -f- A, A» -h ... -4- A«-., A—»

est le quotient que Ton obtient quand on divise l'un par l'autre les polynômes F( a -f-Zz) et/, (a -4- A) ordonnés par rapport aux puissances croissantes de A, et que Ton poursuit l'opération jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un reste du degré a; on obtiendra donc, par cette division, les fractions simples qui se rapportent à la racine a.

On pourrait déterminer de cette manière, indépendamment les unes des autres, les fractions qui se rapportent aux diverses racines, mais il sera plus simple

d'appliquer la même méthode à la fraction -*^-^5 qui

complète les termes déjà trouvés ; on obtiendra ainsi les termes qui se rapportent à une deuxième racine, et une troisième fraction sur laquelle on continuera l'opération.

398. La méthode précédente a surtout l'avantage de faire connaître l'expression algébrique des numérateurs des diverses fractions simples dans lesquelles se décompose la fraction rationnelle proposée. En eOet, la division des polynômes F(a -4- A) elfi[a-^h), que nous avons eflectuée dans le but d'obtenir les coefficients A, Aj, Aa, . . . , revient évidemment à développer la fonction ~ r{ en série ordonnée suivant les puissances

Jï (« + h) ^

croissantes de A, et, comme une fonction n'est développable que d'une seule manière en une série de cette espèce, on obtiendra le même résultat en faisant usage

6o4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de la formule de Maclaurin. Si donc on pose

on aura

en désignant par /z*R| le reste de la série; ici R| est une ionction rationnelle de h qui n'est point Infinie pour

h = o, et, par conséquent, cette valeur de ~ tt ^sl

identique à celle trouvée précédemment. On aura donc

d'où résulte ce théorème général :

Théorème. — Si l'on a

que F[x) désigne une /onction entière de x, dont le quotient par /[x) soit E[x), et que l'on fasse, pour abréger,

on aura la valeur suivante de la fraction ration--

CBAVITRE XII. 6o5

nelLe -^^ :

(jr — a)* (.r — a)«-* l.2(.r — a)»-* '" 1.2... (a— i) (j: — a] "^ (.r— ^)«"*"(a:— ^»)6-» "^ I. 2 (.r— ^>)«~« "*"••■ ' i .2... (6 — i) (j:- ^)

[x-lf^ [x-lf-' ^ I.2{^-/)V-« ' *" I.2...(X-l)(ar-/)

Forme nouvelle de l'expression d'une fonction rationnelle décomposée en fractions simples.

399. Le résullat qui précède est susceptible d'une autre forme très-simple et très-élégante que nous allons faire connaître. Désignons par F{a') une fonction rationnelle quelconque, par

les racines de Téquation

et par

les degrés de multiplicité respectifs de ces racines. Soit aussi, pour abréger,

0) (x) désignant une fonction qui a une valeur unie différente de zéro pour x = oti .

Si Ton imagine que la fonction rationnelle F(a:) soit

6o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

décomposée en fractions simples^ la somme des fractions relatives à la racine Xi sera

1 . 2 . . '[mi — / — i) ( -^ — '^i )'"*"* ' " 1 . 2 . . . ( /Wj — ^) [^ — -^^i )

ainsi qu'on Ta vu plus haut. Par suite, cette somme s'obtiendra en faisant f = o dans l'expression

I.2...(mi — /— i) (j: — arj — ?)'•+* "\ i,2.,.[mi — i) (x — x, — Ç)

Or y'(a:i -f-f), ?"('>Ci-f-0» ••• Peuvent être considérées comme les dérivées de cp(xi -f- 0 par rapport à la variable (^, et alors il est aisé de voir que l'expression précédente se réduit à

r(/jii) £/ç'«i-i '

le symbole T{p) désignant le produit des p — i premiers nombres entiers quand p est plus grand que i , et devant être réduit à l'unité quand p est égal à i . Gomme on a

la somme des fractions simples relatives à la racine x^ sera égale à la valeur que prend, pour ^= o, l'expression suivante :

1 JC J?! — Ç

Si donc la fonction rationnelle F(x) ne contient pas de