partie entière, on aura
Dans cette formule, il faut faire Ç = o, après les diffié-
rentiations ; le signe sommatoire \ s'étend à toutes les
racines x^, X2j • . . , x^. Il est presque superflu d'ajouter que, si le degré de multiplicité d'une racine, de x^ par
exemple, est égal à i, la dérivée J^^ doit
être réduite a
Si la fonction F(x) contient une partie entière E(j:), on a
il est aisé de trouver la valeur de E(j:). Désignons par n l'excès du degré du numérateur de F{x) sur le degré du dénominateur; n sera le degré de E(a:). Cela posé, si l'on
change x en - dans l'équation précédente et qu'on mul-
tiplie ensuite, de part et d'autre, par z", on aura
''K^) = '"Kî)^^'"Sr-li
Il s'ensuit que, si l'on développe z"F l-\ en série ordonnée suivant les puissances croissantes de z, la somme des termes dont le degré ne surpasse pas n sera z^E ( -) •
6o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Or, ^ désignant toujours un infînimcnt petit, on a, par la formule de Maclaurin,
donc
et, par suite,
E(x)=r:a:«Ç'»FQ\
On peut trouver une autre expression plus simple du polynôme E(x). En effet, le coefficient de ^""' dans le
développement Î^^FI-j» suivant les puissances croissantes de f , est égal au coefficient de Ç" dans le dévelopH pement de J^^+'F [yj] d'ailleurs, ces coefficients sont les valeurs que prennent, pour î^ = o, les deux quantités
donc on a, pour f = o,
r(/i-./-+-i) f/ç'*-' r(/ï-f-ij ^!;«
4;bapitiie XII. 609
et 11 faut remarquer que le premier membre doit être réduit à f"F( - ) dans le cas de i = n.
D'après cela, la valeur précédente de E(j:) devient
rf" Ç» F ( ^ I ( I-t- Ç.r + Ç' jj« + . . . H- Ç»*» )
enfin, comme on a évidemment, pour (^=o, et pour i>n,
rf» ?"■*■' F ^1)
— W^=°' on peut aussi écrire
r(«-hi) dV"
ou
r(/i-hi) ifs»
On a donc la formule suivante, qui donne la valeur d'une fonction rationnelle quelconque F(jc) décomposée en une partie entière et en fractions simples, savoir :
I I— Ça? V'^ I X — X,
^■^^ — r(/i-f-ï) Sç^^^ ^^r(/w,) ^"'1-»
la quantité Ç devant être égalée à zéro après les différentiations.
S. — Cale, diff, Sg
GlO CALCUL DIFFÉaENTIBL.
Mode particulier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires^
