CHAPITRE II

car il en résulte -^ = o ; les deux droites menées paral-

(Lt. *

lèlement à Taxe des x<, à une distance a de cet axe, constituent donc une première solution du problème.

Faisant abstraction de cette solution, nous tirons de l'équation précédente

^^^ . rdr .

va - r*

quel que soit le signe avec lequel nous prenions le radical

s^d^ — y^ y le second membre de la formule précédente

est la difTérentielle de — y'a^ — y^ ; par conséquent cette formule exprime que les deux fonctions de x

J7 et — ^ia^ — j*

ont la même différentielle. Ces fonctions ne peuvent donc différer que par une constante a, et Ton a

doù

équation qui représente les cercles de rayon a dont l6S centres sont situés sur Taxe des abscisses.

31. Problème III. — Etant donnée une section co^ nique OAB, troui^er la courbe IM telle, que chaque

corde AB de la conique, tangente à la courbe IM, soit dii^isée en deux par^ties égales au point de contact M.

4o CALCUL DIFFÉREUTIEL.

Soient Téquation de la conique donnée, et

celle de la tangente au point M de la courbe inconnue. Si l'on élimine Y entre ces deux équations, il viendra

La demi-somme des deux racines X de cette équation est

or, par l'énoncé du problème, cette demi-somme doit être égale à l'abscisse x du point M. On a donc

dr

Oî:

lljrdjr = Ipdx -f- iiqxdx\

le second membre de cette équation est la difTérentielle de npx -{-qx^] le premier membre est la différentielle de j^*. Donc ces deux fonctions ne diffèrent que par une constante G, et l'on a

y^ z=i :tpx -f qx^ -\- G

pour l'équation générale des courbes demandées. Ou voit que ces courbes sont des coniques semblables à la proposée et qu'elles ont les mêmes axes principaux.

CHAPITBE II. 4<

Théorème relatif à la différentiation des fonctions composées de plusieurs fonctions d'une variable indépendante.

32. Les résultats que nous avons obtenus précédemment sont compris, comme on va le voir, dans un théorème général relatif à la différentiation d'une fonction composée de plusieurs fonctions.

Si u et (^ sont deux fonctions de la variable indépendante X et que

soit une fonction de u et de v^ on dit que j^ est une fonction composée des deux fonctions u et v.

Désignons par ç(ii, v) la dérivée de /"(m, i') par rapport à u, c'est-à-dire la dérivée prise en considérant u comme une variable indépendante et v comme une constante; on aura

a étant une quantité qui s'évanouit avec l'accroissement l^u que nous attribuons à u. Désignons aussi par ^(u, \f) la dérivée dey(a, i'), par rapporta ^';'on aura de même

ë s'annulant avec ^^. Si, dans cette dernière formule, on remplace u par u -H Au, S ne cessera pas de s'évanouir avec Ai^; mais cette quantité prendra une valeur différente ff, et l'on aura

{2) f[u -f- Aa, V -r Ap) — /[u -f- Af/, v] ^^ [^ [u H- ÙlU^ v) -h §'] Ar.

Supposons maintenant que Au et As^ soient les accroissements que prennent les fonctions u et f^ quand on

4^ CALCUL DIFFÉUENTIEL.

donne à x raccroissemenl ^x ; désignons aussi par ^y l'accroissement correspondant dej-, savoir :

Ar --/( w -f- Aw, 1/ H- A(') — /( u, y), on aura, en ajoutant les égalités (i) et (2),

Ar = [?{«> ^] -ha]Atf -h[^(« -f- Att,*») -h S*] At',

et, en divisant par Ax,

Passons maintenant aux limites : a, 6' et Au s'évanouissent; on a donc

dy . .fin . , y dp

ouy en multipliant par dxy

djr ~~ y ( tf, v) du -f- -^ tv, v^dv.

Lorsqu'une fonction y dépend de deux variables arbitraires a et Vy on représente par les symboles ôuy^ à^y les différentielles de cette fonction, prises en ne faisant varier que l'une des deux quantités uowv\ si au et dv sont les accroissements arbitraires attribués aux variables, les dérivées c[>(ii, p»), ^{uySf) seront égales res-

• ô y ô Y pectivement aux deux quotients -^—9 --^« On supprime

ordinairement les indices de la lettre d dans les deux numérateurs; mais il ne faut pas oublier que les dy des numérateurs ont des significations différentes, indiquées sans ambiguïté par les dénominateurs. La différentielle de la fonction y considérée comme une fonction de x s'exprime par la formule

. àr . ày .

CHAPITllE II. 43

OU

ou ov

On représente aussi paryj,'^«, 1^), f^{uyu) les deux dérivées ç(i*, p»), ^ {u, i^] ; on a. alors

33. Le résultat que nous venons d'obtenir peut être généralisé bien aisémeift. Soient

u, V, iVj 5, . . .

des fonctions de la variable indépendante x et

une fonction composée -de ces diverses fonctions. Remplaçons celles-ci, à Texception delà première, par leurs valeurs : on aura l'expression de j^ en u et or ; on poun^a donc appliquer la formule à laquelle nous sommes parvenu au numéro précédent, ce qui donnera

dr ou,

formule où d'y représente la différentielle de j- prise en regardant u comme une constante. On aura pareillement

dr d'y = ~'L dv + d''r,

dJ^y étant la différentielle de j^ quand on regarde u et i^ comme des constantes, puis

d''r = ^dw-\~ d'^Y.

Ow

d"'y étant la différentielle de y prise en regardant a, i^, w comme des constantes, et ainsi de suite. Il est évident qu'en ajoutant entre elles toutes les équations obtenues

44 GiLCTJL DIFFÉItEVTIEL.

de cette manière, on aura

f(X = ~- du -h -^dtf-^ -j^ dtv-h -^ds -'-..,, ou ov ôw as

ou, en divisant par dx^

dy dy du ày dv dy dw dy ds

dx du dx dv dx àw dx ds dx ' * '

et Ton peut énoncer ce théorème :

Théorème. — La différentielle d'une fonction con^ posée de plusieurs fonctions est égale à la somme des différentielles que l'on obtient en regardant successiv>ement chacune des fonctions composantes comme seule variable,