Applications. — i° Soit
ôy ôy A, B, C, . . . étant des constantes. Les dérivées ■^- > -r- * • • •
ou ôv
sont égales respectivement aux constantes A, B, C, • • • ;
on a donc
dyzz^Xdu-^Jidv-^d dvr-r- ....
a" Soit
y = uiH^'s ... ;
ici les dérivées ~-> -p> • • • sont égales respectivement à
vws ... 9 utvs . . . , uvs . . . , . • . ; on a donc
dy zrz [vws, . ,]du -f- (uws, . ,]dv -f- [uvs — )div 4-. . ., comme on l'a trouvé au n^ 24; cette formule conduit,
CHAPITaE H* 4^
comme on l'a vii (n*» 26), à la règle de la difféventîation
des puissances.
3° Soit encore
on a
donc
ou
dr , àx ,
Ou ôv
tlj = {f~^ (lu — u\'~^dv
vdu — U(h dy= -^,
Conséquence du théorème précédent,
35. Toute fonction explicite j^ de la variable x s'obtient en effectuant successivement sur cette variable diverses opérations bien définies. Le nombre de ces opérations est limité et, s'il est supérieur à i , la dernière opération devra être exécutée sur une ou plusieurs fonctions u, r, çv, . . • déjà formées; ainsi l'on aura
Le théorème que nous avons établi ramène la différentiationdej'à celles des fonctions plus simples Uy\^,Wy,..y et à celle des fonctions de Uy de i^, de çv, . . . , représentées parle symbole yi Si les fonctions Uj Vj w, . . . ne s'obtiennent pas par une seule opération exécutée sur x^ on pourra leur appliquer ce que nous venons de dire àey^ et ainsi de suite. En sorte que la recherche de la différentielle àey se ramènera toujours à celle des différentielles de certaines fonctions élémentaires qu'on ne peut réduire à des fonctions plus simples. Les fonctions élémentaires ou irréductibles dont nous avons à nous occuper ici sont :
1** les fonctions qui résultent d'une seule opération algébrique exécutée sur la variable x, savoir azhx, ax^ jt'»; 2* la fonction exponentielle a^ et la fonction logarithmique logj?; 3® les fonctions circulaires. Nous n'avons rien à ajouter à ce que nous avons dit précédemment à l'égard des fonctions algébriques, et nous allons considérer les diverses fonctions transcendantes élémentaires dont nous venons de parler.
Dijfferentiation des logarithmes et des exponentielles»
36. Lorsque deux variables dépendent l'une de l'autre, et qu'on exprime successivement chacune d'elles en fonction de l'autre, on obtient deux fonctions qui sont dites in\^crses l'une de Vautre. Telles sont les deux fonctions que nous allons considérer. En général, quand on sait trouver la dérivée ou la différentielle d'une fonction, on peut en conclure la dérivée ou la différentielle de la fonction inverse. En effet, supposons que deux variables, X etj^f soient liées entre elles par une équation susceptible d'être mise sous les deux formes
en prenant les dérivées par rapport à x des deux membres de la seconde équation, on aura (n*'21 )
