CHAPITRE H

Alors on a, parla formule du binôme relative à un exposant entier et positif,

m{m-i){m--ii) i

Soit n un entier quelconque inférieur à m, et désignons par R„ la somme des termes qui suivent le (/i-f- i)"^*"* terme dans le second membre de la formule précédente, on pourra écrire

et la valeur de R/t sera

L (z'-hl) («-i-l):«-f-2j J

Dans la somme entre crochets qui forme le dernier facteur de cette expression, le nombre des termes est m — /i, et ces termes sont moindres que ceux qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la progression géométrique illimitée

~T" 7 ; Tï "T"» • • «

/i -H 1 (/J 4- i)' [u 4- ij

La somme de cette progression est - ; donc le facteur entre crochets, dans l'expression de R^, peut être repré-

sente par -9 9 désignant une quantité comprise entre zéro et i . Ainsi Ton aura

(,) R„= .V-/L«/__\ 2Li ».

Le nombre n étant regardé comme invariable, faisons tendre m vers l'infini, et désignons par ^,| la limite de R;,, par ^la limite de 6, la formule (i) donnera

(I \"* ï I I I-h- ) =:H 1 h...-: r h^„, mj I 1.2 l.2.i. ,n

et l'on a évidemment/ par la formule (a);

^ étant une quantité comprise entre zéro et i .

Le nombre n peut être choisi arbitrairement, et si l'on suppose qu'il croisse indéfiniment, la quantité ^n tendra vers zéro. Il s'ensuit que le second membre de la formule (3) est égal à la somme de la série convergente

somme que nous représenterons, suivant l'usage, par la lettre e ; ainsi l'on a

lim f iH — I = <?,

en posant