CHAPITRE II

Si Ton arrête la série au terme qui en a n avant lui, l'erreur commise sera la quantité S{„y qui est ce qu'on nomme le reste de la série; on voit que ce reste est inférieur à la «»*™* partie du (w H- i]**"« terme auquel on s'arrête. Cette remarque permet de calculer le nombre e avec une approximation aussi grande que l'on veut; on

trouve

38. Supposons maintenant que m tende vers l'infini positif en passant par tous les états de grandeur, et désignons par II le nombre entier immédiatement inférieur à la variable m. Ou aura

Or, quand m tend vers l'infini, le nombre entier jjt tend aussi vers l'infini ; on a donc

lim ( I -i — I = lim 1 i H = e,

lim ( iH — ) = Uni 1 I H 1 =^ I ;

donc la quantité (in j est comprise entre deux variables qui ont l'une et l'autre pour limite le nombre e; on a en conséquence

lim ( IH ) =e,

s. - Cale. diff. 4

5o CiLCUL DIFFÉRENTIEL.

Supposons enfin que m tende vers Tinfini négatif. Si l'on fait m = — p, on aura

(-ir=(-r=(.-^)'={-?^)

Quand m tend vers — «o , j:* — i tend vers H- oo , et Ton a

lim f iH ) =tf, limln I ~i;

donc on a encore dans ce cas

lim ( iH I = tf.

39. Différentielle de la fonction log.r. — La base des logarithmes est ici un nombre positif quelconque a. Si Ton donne à x Taccroissement ùkXy la fonction logj: prendra Taccroissement

A loga: = log [x -f- A.r ] ~ logx r- log ( iH •-- j ,

et Ton aura

A«\ A log.r ^^^ \ " ' X j

Posons

A^; Ajp

m=z — ou ^X=: — > Ajt m

il viendra

A logj? m

Ax a- '^ \ mj