CHAPITRE II. 5l

Or, quand ^x tend vers zéro, le nombre m tend vers

l'infini et Fexpression ( n \ a pour limite le nombre e; on a donc

^lo^x loge

dx X

OU

dj:

d \o°x 1..-- logff — •

Si les logarithmes sont pris dans le système de Néper, la base est précisément égale au nombre e ; on a donc

logCrr^I et dXCiÇ.Xzzz--»

II faut remarquer que, d'après le principe du n^ 21, l'expression précédente de d\o^x subsiste lors même que X ne serait pas la variable indépendante. On voit aussi que la différentielle logarithmique d'une fonction supposée positive n'est autre chose que la différentielle du logarithme népérien de cette fonction.

40. Différentielle de la fongtioit a', a étaitt uwe CONSTANTE POSITIVE. — Si Fou douuc à X l'accroissement Ao:, il vient

d'où

Posons

a — I = — ou a*' :== IH :

on aura, en prenant les logarithmes des deux membres ^ A*log« = log(^n--j ou A*= j^— ,

et, par suite,

A«7* ^ io^a ^ lo^^z

Maintenant faisons tendre ùx vers zéro ; le nombre m

tendra vers Tinfini, et ( i-î j tendra vers e; on aura

donc, à la limite,

djc log e

La base des logarithmes qui figurent dans cette formule est arbitraire; si Ton choisit la base de Néper, on aura loge= i, et, par suite,

— — rzr a* logfl et da^-- a' Xo^adx. dx

Dans le cas de a = e, ces formules deviennent

dé^

dx

=z e^j de^ z:ne^ d.v\

ainsi la fonction e* jouit de la propriété d'être égale à sa dérivée.

Il est à peine nécessaire d'ajouter que les résultats qui précèdent subsistent quand x cesse d'être variable indépendante.

41. Nous avons procédé directement à la recherche des différentielles des fonctions logo: et a*; mais, ainsi que nous l'avons déjà dit, la différentielle de Tune de ces fonctions étant connue, on en déduit immédiatement la différentielle de l'autre. Posons en effet

y — a''; on aura, en prenant les logarithmes des deux membres