CHAPITRE II. Sj
et cotx. On a
Atan(^j-=: tang (x -4- A.r ' — tingj?
= [i -f- tang.rtang [x -^ l.r]] tangAx,
A cota: rrr cot [ j: 4- Ax ) — COtx
= — [iH- cotx cot (.r -4- A.r)] tiingA.r,
d'où
— --^-- = —7-^- l;ï + t«ingJî tang ,j: -+- A.r)],
Acotj? tancrA.r , . ^i
— [1-4- C0t.irC0t(jî H- A.rj].
AX A.r
Passant aux limites, -^' — ^ se réduit à Tunité, et Ton a
— = I -4- tang'jrijrsec'x = --5
— : = — (l-f-CCt^.r = — coscc'xrzz — --X-"»
«tr ^ ' sin^.r
d'où
r/.r , ' ■ dr
ataDgx= 9 dcoi.r = r-z—'
cos-.r sin-x
Les fonctions tangx et cot;r ayant respectivement pour valeurs
sin.r co.s.r tangxzrr 9 C0tX= -1
COS.r Mll.r
on aurait pu conclure leurs difTérentielles de celles des fonctions sinx et cosx en faisant usage de la règle relative à la diflférentiation des quotients. Ainsi , par exemple, on a
cos.r d sin .r — sin .r d cos .t d.r. </tangx= = —-
COS'X cos-.r
3° Considérons enfin les fonctions sécx et cosécx.
On a
sec Jî = ( cosx)— * , cosécx =r: ( sin x )-* ;
58 CALCUL DIFFÊBEIÏTIEL.
donc, en appliquant la règle de la difTérentiation des puissances, on a
d sccjr =^ (cosa: )-* sia « ^x = — -— <i-r = +- tangj: sécx dx^
uos je
avosi^.cx = — (sinx -'cosxax = :—T—dx:=z — cotxcosecxcte.
' sin'o:
Ainsi, en résumé, on a
d sin x z^ cos:o dx^ d cos j; := — sin j: <Zr,
dtangx:= — - — dx, d cotx = :-— — dx,
cos'j? sin*j:
, , sin.r , cos.r
d secx = 1 — dx, dc.osccx=:z r-r- dx.
cos^x siir.r
Ces six formules subsistent lorsque x cesse d'être la variable indépendante, et Ton doit remarquer que les trois dernières peuvent être obtenues en appliquant les
trois premières à la variable x, tt désignant la demicirconférence. On a effectivement
d cosx - -- d sin ( x\z=z — cos ( x\dx=c:z — s'inxdxy
d colx ---^ftangf x\z=z ; —dx:z^ ____ g/a?
du (^— )
, Slll
acoscco: — : a sec ( x].z=z dr zzz ^-.—dx,
2 / - /:t \ siir-c
cos^
44. Applications. — En combinant les règles précédentes avec celle de la difTérentiation des logarithmes, on a immédiatement les différentielles des fonctions
log sin:r, log cos x, log tangx,
CHAPIT&B II. 5q
Efiectivement, les logarithmes étant pris dans le système népérien y on a
dlos sia.r =r — ; z=z — ; = cet x or,
Slliar SI MX
,, dcos.r s'in. rfix ,
dlos cosas z= =1 = — tansjrdr,
^ cosjr a>sa:
,, dtan^x d.r 9.d.v
d\ogtaingx=z ^^= —- ~ -. •
tanujp taiiîïjrcos'a: sni2.x
SI dans la dernière formule on remplace a: et dx par ~
d.T . TT .r (l.r
et - î puis par -r -1 — et - - 5 on aura 2 *^ *^ 4 ■ ^ ^
, X dx
alogtane- =. 9
° 2 sin.r
Jlogtang I7 -f- - )= -
° \4 2/ cosjr
45. Différentielles des fonctioits ciriCULAiREs inverses. — La variable indépendante étant toujours représentée par x^ les fonctions circulaires inverses sont
arc sinjr, arc tangjr, arc sccx, arccos^Ty arc cotx, arccosëc:?.
Mais, comme à une ligne trigonométrique donnée x répondent une infinité d'arcs, les expressions précédentes ne sont pas complètement déterminées, et, pour qu'elles puissent être admises comme fonctions de Xj il est nécessaire d'ajouter quelque chose à leur définition. Or, quand un arc de cercle varie d'une manière continue entre les limites — 00 et -h 00 , chacune de ses lignes trigonométriques varie elle-même d'une manière continue; par conséquent, on achèvera de déterminer les fonctions circulaires inverses, si on les assujettit à rester
6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
continues, et qu'on fixe les valeurs de ces fonctions qui répondent à une valeur donnée de la variable. Par exemple, les. fonctions arc sinx, arc tango: seront entièrement définies, si l'on impose la condition qu'elles s'annulent pour x = o et qu'elles varient d'une manière continue avec x.
La différentiation des fonctions circulaires inverses se ramène immédiatement (n° 36) à celle des fonctions directes.
i'' Soit
y = arc sin.r, d'où sin/ rrr x,
on aura
COSJ dy = dx^ djr = ~ = =rr;9
cos j . / , .r»
le signe qu'il faut donner au radical étant celui de cosjy.
2? Soit
y = arc cosx, d'où cos j =^ x,
on aura
— r/.r — dx
— siwydy =z rf.r, dy =. r= — *
le signe du radical étant celui de sinj*.
3*> Soit
y = arc tang.r, d'où tang^ -- x,
on aura
cos'y '. ' ' \ -r x^
^ — = dv. dy = cos* r dx := - 4« Soit
y =z arc col j:, d*où cotj = .r, on aura
z=z dx, dy ^=. — sm' r dv. z=z •
sin-'r 1 -t- -c*
5° Soit
y arc sec* d'où sec/ = x^
