CHAPITRE II

on aura

le radical devant être pris avec le signe de tangj^. &" Soit

y r= arc coséCiT, d*où coséc^ = «,

on aura

— 00 tj cosécj' dy •=. cùr,

dx dx

^ C0t7 COSCCJ x yx* — T

le radical ayant le signe de cotj^.

Ainsi Ton a, en résumé,

d.r — - dx

d arc sin x •=. 5 d arc cosx = , ,

Vi—x» ^1 —

^.r , dx

tfarctanejrr^: -, rfarccotx = rj

ffarcsccj: = —. -> c?arccosecJc= • ^^t

les signes des radicaux étant déterminés comme nous Favons indiqué. Il convient de remarquer que les différentielles des fonctions circulaires inverses sont algébriques, comme la difTércnticUe de la fonction logx.

La somme des fonctions arc tango:, arc cotx est évidemment égale à une constante, aussi leurs différentielles sont-elles égales et de signes contraires. Les deux fonctions arc sin a: et arc cosx ou arc sécx et arc coséco: ont une somme constante ou une différence constante; il s'ensuit que les différentielles de ces fonctions doivent être égales ou égales et de signes contraires.

Dyférentiation des fonctions implicites.

46. Considérons d'abord le cas d'une fonction^ liée à sa variable x par une équation

dont le premier membre est une fonction donnée de x el de y.

La variable y est une fonction de x, et par suite on peut regardery{j:,jt') comme une fonction composée. Cette fonction est constamment nulle par bypotlièse; donc sa diCTérentielIe

àx Oy •'

est elle-même égale à zéro. Ainsi l'on a

d'où

On voit que la dérivée d'ime fonction y, liée à la variable x par l'étjuation f'x, y^) =0, s'obtient en divisant la dérivée relative à x dupremier membre de l'équation par la dérivée relative à y du même premier membre, et en cliangeant le signe du quotient.