CHAPITRE II

entre une variable indépendante x et n fonctions ^^, 2, u, . . . de celte variable. Les fonctionsy, F, y, . . . étant, comme dans les cas précédents , des fonctions composées dont les valeurs sont identiquement nulles, les différentielles de ces fonctions sont nulles aussi, et Ton a

d/ , àf , df ^ df ^

ÔJe Ojr Oz ou

dF ^ ÔF ^ dF ^ ÔF ^

-r- dX -h ^- dr -{- -r- dZ -h - rf£/ -4- . . . = o,

ox ày oz ou

'^ dx -^ ^ dr -\- —- dz -\- ~ du -\- , . ,1= o, Ox oy oz ou

Ces n équations déterminent les différentielles des n fonctions j^, ZyU, .... On les obtient en différentiant les équations proposées, c'est-à-dire en égalant à zéro les différentielles des premiers membres de celles-ci.

De V élimination des constantes arbitraires,

M . Considérons une équation

entre les variables x, y et la constante arbitraire G. La difTérentiation de cette équation donne, comme on l'a vu,

et si Ton élimine la constante C entre les équations (i) et (2), il en résultera une équation

entre la variable indépendante x, la fonction y et sa

dérivée --• dx

S. — Cale, diff, 5

Cette équation (3), qui résulte par la difTérentiation d^une équation où figure une constante arbitraire, est dite une équation différentielle. Relativement à cette équation différentielle, l'équation (i) est quelquefois désignée sous le nom d* équation primitiy^e.

Si l'on suppose que j: et^ désignent des coordonnées rectilignes et que la constante C prenne une infinité de valeurs, l'équation (i) représentera une famille de courbes ; l'équation ( 3 ) exprime une propriété de la tangente, commune à toutes les courbes de cette famille.

52. Exemples. — i® Soit l'équation qui donne par la différentiation

Ici la constante G a disparu d'elle-même et l'équation précédente est l'éqaation différentielle qui résulte de la proposée. Elle exprime (n® 29) que la sous-normale est constante dans toutes les courbes que représente l'équation

!i? Soit, en second lieu, l'équation

dans laquelle b est une constante donnée et p un paramètre variable ; cette équation représente un système de coniques homojbcales, lorsque x et y désignent des coordonnées rectangulaires. La différentiation donne

d'où

'dx

CHAPITHÉ II.

ydy xdx-\-ydy

L'élimination de p^ donne

ce qui est Téquation différentielle demandée.

Menons la tangente MB et la normale MC à l'une des

courbes de la famille considérée, et soient B, C les points où ces droites rencontrent Taxe Oy. Les équations de MB et de MC sont

dr

dx

^nsëquent.

dx dy

d'où