CHAPITRE III

cette difTérence par ùf^^y. Cette différence est elle-même une fonction de x et sa différence , prise en attribuant à la variable x un accroissement arbitraire Aa, est la différence du second ordre ou la différence seconde de la fonction j^ : nous la représenterons par A^»A*«j^, et ainsi de suite ; en sorte que, si l'on considère la série

A*i^, A*»A*i^, A'^^A'^îA'^ij, ...,

dont chaque terme est la différence du précédent, relative à un certain accroissement attribué à la variable x^ le terme de rang n sera la différence d'ordre n ou la jitème différence àtj.

De l'expression de la différence première

on déduit

on en conclut que cette différence ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux caractéristiques A. Si l'on considère maintenant la différence d'ordre /i, on pourra évidemment, sans altérer sa valeur, intervertir l'ordre de deux caractéristiques consécutives, et par conséquent disposer ces caractéristiques dans tel ordre que l'on voudra.

58. Il existe entre une différence et la différentielle de même ordre une relation importante que nous allons établir.

L'expression de la différence première est donnée par la formule (5) du n** 14

dans laquelle 0| désigne un nombre positif inférieur à

74 GILGUL DIFFÊaEKTlEL.

l'unité. Considérons la différence seconde, on a

A^ AV(a:) = A^[/(x ^ h, ) -/(x)] = A^n(x],

en posant u[x) =f{x -f- A, )/(x). Mais, d'après la formule (i),

On a d'ailleurs, d'après la définition de la fonction n(a:), il en résulte

et, en réduisant la quantité entre parenthèses au moyen de la formule (i),

(2) A^aV(^) =/'(*-+- 0,^1 -*-«i/*i)AiA„

di et da étant des nombres positifs inférieurs à l'unité. Considérons encore la différence troisième, on a

A*tA^A''./(x)=:A^A^«[/(x-+-/ii)— /(x)]z=A*iA^n(x),

et, en vertu de la formule (2),

A*. A^n[x) =: n'' X -f- 6, A, -f- 0%h^]fhh^.

Mais, de la définition de la fonction n(x), on déduit

= /^(x-4-6,^,-|-0,A, 4-Aj) — /''(x-T-0»^s-hô,A,)

il en résulte

(3) A^A*.aV(^)=/''(-^ + O,^, + ô,A,-+-0iAi)AiA,A„

di, da, ds étant des nombres positifs inférieurs à l'unité.

En continuant ainsi, il est évident que l'on obtiendra, pour exprimer la différence d'ordre w, la formule