CHAPITRE m

saivante, due à M. Ossian Bonnet:

01, &2, . . ., 9„ étant des nombres positifs inférieurs à Funité.

Si Ton divise cette différence par la différentieUe correspondante (n° 55), on voit que le quotient

A^. . .. A^A*«j — fl\^ "^Jl^L± ^^h. ±j:jrtli^J

a une limite égale à Tunité, lorsque Ton fait tendre vers zéro toutes les quantités Ao A^y . • *, A;|.

Dérwées partielles, différentielles partielles et différences partielles des divers ordres d^ une fonction tie plusieurs variables indépendantes,

59. Considérons une fonction ta de plusieurs variables indépendantes j:, j^, z, . . . , et soit

la fonction donnée. On peut prendre la dérivée de « par rapport à Tune quelconque des variables, les autres étant considérées comme des constantes ; les résultats de ces dérivations se nomment dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée : on les représente par les symboles

fx[^yy^ «» . . .)> /i'(^» J>^» • • •)'/ sl"^>^» ^» • • •)' • • • •

Les dérivées partielles des dérivées partielles du premier ordre sont les dérivées partielles du second

jG CALCUL DIFFÉ&EKTIEL.

ordre : on les représente par les symboles

Les dérivées partielles des dérwées partielles du se^ cond ordre sçnt les dérivées pai^tielles du troisième ordre, et ainsi de suite. En général, une dérivée partielle d'ordre n s'indique parla caractéristique y affectée de deux indices ; l'indice supérieur est le nombre n qui indique Tordre de la dérivée partielle, l'indice inférieur est formé par la succession de n lettres x^j^z^... disposées dans Tordre où Ton a effectué les dérivations.

60. Théorème. — La valeur d'une dériuée partielle d' une /onction de plusieurs variables est indépendante de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations, le nombre des dérii^ations relatives à chaque variable demeurant le même.

Considérons d'abord le cas le plus simple, celui d'une fonction de dpux variables. Représentons par les caractéristiques Z^J et A* les différences d'une fonction quelconque des deux variables x et j^, lorsqu'on attribue à ces variables l'un des accroissements h ou h. On a

Le second membre ne change pas lorsqu'on prend les différences dans Tordre inverse, c'est-à-dire lorsqu'on change Tordre des caractéristiques : on en conclut que

{2) A*A*/[x,7) = A^A*/(x,jr).