CHAPITRE III

Exprimons ces deux difTérences d'après la méthode de M. Ossian Bonnet (n** 58).

On a

enposantn(j:,j)=/(j:4-A,j)— /(x,j).

L^application de la formule (5) du n^ 14 à la fonction u{Xy y), dans laquelle on fait varier j^, donne

Diaprés la définition de la fonction n(x, /), on a

d'où

Enfin y en appliquant la formule que nous venons de rappeler à la fonction^'(j:, ^H-6/r), dans laquelle on fait varier x, on obtient finalement

(3) ^'y^'^/(^,x)=/;À^-^^'à, x^6k]hA,

6 et 9* étant des nombres positifs inférieurs à l'unité.

Changeons l'ordre des caractéristiques , on aura évidemment

0i et fft étant encore des nombres positifs inférieurs à l'unité.

La comparaison des deux expressions de la même différence seconde donne

et, si l'on fait tendre A et A vers zéro,

(4) -Cx(^.J') =/;(*. r).

t 61. L'égalité exprimée par la formule (4) si encore

I lieu lorsque la fonction dépend d'un nombre quelconque

de variables indépendantes, autres que x eXy, Si l'on

considère une dérivée partielle d'ordre n d'une fonction

de m variables arbitraires , on pourra donc, sans altérer

; le résultat final, changer l'ordre de deux, dérivations

(Consécutives, et par conséquent effectuer ces dérivations successives dans tel ordre que l'on voudra. Le nombre des dérivées partielles distinctes du second ordre est égal au nombre des termes d'un polynôme homogène du second degré de m variables, c'est-à-dire

à — -• En général, le nombre des dérivées par-

tielles d'ordre n distinctes est égal au nombre des termes d'un polynôme homogène du degré n k m variables, c'est-à-dire égal à

jn(/?i-4-i)(/m-2)...(m4-/i — i) 1.2.3. . .n

Ce théorème permet de simplifier la notation des dérivées partieUes. Dans le cas d'une fonction de trois variables, une dérivée partielle d'ordre n résultant de a dérivations effectuées par rapport à j:, de ^ dérivations par rapport à j^ et de y par rapport à z, pourra être représentée par le symbole

la somme « -*- 13 H- y étant égale à n.

62. Le produit de chaque dérivée partielle du premier ordre par l'accroissement arbitraire de la variable correspondante se nomme différentielle, partielle du premier ordre. En nous bornant au cas d'une fonction tù de trois variables x^y^Zy nous représenterons