CHAPITRE III

ces différentielles partielles par les symboles

d^*ùi, d*««, di«w,

hiy kif /# étant les accroissements de ces variables. Les différentielles partielles des différentielles partielles du premier ordre, prises pour de nouveaux accroissements arbitraires attribués aux variables sont les différentielles partielles du second ordre, et ainsi de suite. Une différentielle partielle de Tordre n, obtenue en différentiant dans un ordre déterminé a fois par rapport à or, j3 fois par rapport à j^, y fois par rapport à z, s'indique en disposant les unes à la suite des autres les caractéristiques

a^ d*., ..., as d^s d*«, ..., d^. dis dis ..., di\

dans Tordre où l'on a effectué les Opérations. Cette différentielle partielle est égale à

elle ne change pas lorsqu'on intervertit l'ordre des caractéristiques d.

On suppose ordinairement les accroissements relatifs à la même variable égaux entre eux; dans ce cas, on représente la différentielle précédente par le symbole ^xV»ï"' et l'on a

dx, djr, dz étant les accroissements attribués aux var riables.

De cette formule, on tire

ou, plus simplement,

8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la signification du numérateur dn^ étant indiquée sans ambiguïté par le dénominateur. Cette dernière notation est la plus usitée pour représenter les dérivées partielles; la formule ( 3 ) devient alors

ou

( 6 ) d Ve V ^ = ,r4^\-. ^^*^y ^^5^-

63. On nomme différences partielles du premier ordre de la fonction co les accroissements de cette fonction qui correspondent à des accroissements déterminés hiy kl, /| des variables; nous représenterons par

ces différences. Les différences partielles des différences partielles du premier ordre sont les différences partielles du second ordre, et ainsi de suite. Une différence partielle de Tordre n obtenue en effectuant dans un ordre déterminé a opérations par rapport k Xy ^ par rapport k jy y par rapport à z, est représentée par la succession des caractéristiques

disposées dans l'ordre des opérations. D'après les remarques faites aux n^^'ST et 60, sur le changement de l'ordre de deux caractéristiques, dans le cas d'une fonction d'une seule variable ou de deux variables, on peut intervertir à volonté l'ordre de toutes les caractéristiques d. En répétant n fois de suite des transformations analogues à celles effectuées (n*** 58 et 60), on pourra évidemment exprimer la différence d'ordre n que nous