Soit

une fonction composée de m fonctions u^s^^Wj ... de la variable indépendante x. On a d*abord ( n^ 33 )

, V , àr , dr , dr

(i) ^r = -— rftt -f. -,- ap-4- — -rfw-f-

^ ' 'au Ov ôw

Chaque terme du second membre étant un produit de deux facteurs, on aura, par une nouvelle différentiation,

dw H- . . ,

ou Ôv Ôw

Or, en appliquant aux fonctions .-j —-> -f^j • • • la pro- ^^ ^ ou ôv ôiv ^

s. — Cale. diff. 6

8a CALCUL DIFFÉRENTIEL.

position exprimée par la formule (i), on a

\du) " du^ \di^) " du \dw) dut

dp

du

du

du

duàv dvâw

dv

dv

dv

duôtv

div

dw

dtv

l'expression de d^y devient alors

dtt*-h 2 -: :- dudv

ÔuOv

dv^

2 ^ — -^-dudw

ÔUQW

àvàw

dvdw

\0U Ôv ow J

On obtiendra successivement de la même manière les difTérentielles d}y^ d^y, ....

65. Cas ou les fonctions composantes sont linéaires. — Si toutes les fonctions u, Uy Wf ... sont de la forme ax -^ b, a et b étant des constantes, on a

d*u = o, d*v=zOy d*(v = o^

• • Oi

et la formule (2) se réduit à

d^y = ^du*-i-2^dudp-h...

Ôu

av^

dudv àvôfv

dvdtv

Cette expression de d^y peut être représentée symboliquement par la formule