CHAPITRE m

l'élimination des arbitraires entre les an équations dont nous venons de parler fournira un système de n équations différentielles simultanées du premier ordre qui se composera des n — i équations (4) et de Téquation (3) réduite au premier ordre, par l'introduction des nouyelles variables j^', y\ . . •j^^'*'"*^- Cette équation sera donc

Du changement de la variable indépendante,

71. Lorsqu'on a à considérer plusieurs variables qui dépendent de l'une d'entre elles, on peut choisir à volonté celle qui sera regardée comme indépendante ou dont la différentielle sera constante. Mais il peut arriver que, après avoir désigné cette variable indépendante, on reconnaisse qu'il est plus avantageux d'en choisir une autre; il faut alors modifier les formules. Telle est la question qui va nous occuper, et que nous énoncerons comme il suit :

Soient x la variable qui a été choisie pour variable indépendante et y l'une des autres variables quily a lieu de considérer ; on demande d' exprimer les dériv^ées

dy d^y d^y

dx dx^ dx^

prises dans l'hypothèse de dx constante, en fonction des différentielles dex et dey, considérées comme fonctions d'une même variable indépendante quelconque*

Désignons par •

^t yJf ^m

Les dérivées àjt y prises dans l'hypothèse où x est la

variable indépendante. On aura

;i) dy—y'clr^ dyzzzfdx, dfz=:fdx^ ...,

et, diaprés le principe du n** 21 , ces formules subsistent quelle que soit la variable indépendante. La première formule ( i ) donne

résultat connu et d'après lequel j^' est le quotient de dy par dx. Appliquant à cette formule (a) la règle de la différentiation des quotients, il viendra, quelle que soit la variable indépendante,

, , dril^ y — lïyd'X dv — — - ' - •

•^ - dx\

mais, d'après la deuxième des formules (i), dy* est égale à y'*dx\ donc on a

__ d.rd^y — dy d^x

^ ' ^ dx^

Appliquant de nouveau la règle de la différentiation des quotients, il vient

„ d.r{dxd^x — dyd^x] — 3drr[dxd^x — dyd^x)

et comme dy"=y"dXf d'après la troisième formule (i), on aura

./ ^dx[dxd^j — dyd^x] — Zd^x[dxd^y -^ <fyd^x)

En suivant la même marche, on obtiendra successivement /'^, y", .... Il est évident que y^'^ s'exprimera par le moyen des différentielles de x et de j^', jusqu'à celles de Tordre n.

GHAPITKE m. 9^

Si dans les formules (2), (3), (4)» • • • on suppose dx constante, on retrouvera les formules

Si Ton veut choisir j^ pour variable* indépendante et que Ton fasse en conséquence rfy = const., les formules (2), (3), (4), • • • deviendront

On verra dans la suite qu'il y a souvent avantage , au point de vue de la symétrie et de l'élégance des formules, à ne pas fixer la variable indépendante.

Du changement de toutes les variables.

72. La question que nous nous proposons de résoudre peut être énoncée comme il suit :

Soient Xf J'y Zj . • • des variables qui dépendent de tune d'entre elles; x celle de ces variables dont la différentielle est regardée comme constante, et V une fonction donnée de x et de

dx d^jr dz d^z

•^' dx djr}^ ' • r/.r' dx*'

On demande de trouver ce que de\^iendra l'expression

g4 , CALCUL DIFFÉRENTIEL.

deY quand on substituera à Xyj y z, . . . d'autres variables ^, y?, Ç, . . . , ef que Von choisira lune de ces dernières^ 4 par exemple, pour variable indépendante.

Pour résoudre cette question, on commencera par transformer l'expression de V, au moyen des formules du numéro précédeht, de manière que la variable indépendante ne soit plus désignée; alors V deviendra une fonction de X, j^j Zj ... et de leurs différentielles.

Cela étant, comme les variables x,yy z, ... sont données en fonction des nouvelles variables Ç, >7, ^, . . . , on aura des équations telles que

et de ces équations on tirera, par la différentiation, les valeurs de

djr, djr, dz, ..., d^x, d^y^ ^*2» •••, ...»

en ayant soin de supposer d}^ constante, conformément à renoncé. Il n'y aura plus qu'à substituer toutes ces valeurs dans V pour achever la solution du problème.

73. Applications. — Soient x et y les coordonnées rectangulaires d'une courbe donnée dont la première x est prise pour variable indépendante. On demande ce que devient la fonction

dx^

quand on substitue aux coordonnées rectangulaires x,y les coordonnées polaires p, tù et que l'on prend w pour variable indépendante.