CHAPITRE III

Au moyen des formules du n? 71 , Texpression de V devient

dxd^y — dyd^x

et ici la variable indépendante n'est plus désignée. Cela posé, on a

d*où, par la différentiation,

dr == dp cos6> — p sinu^o), djr = dp sinw -h 0 cosoidoi,

'Différentiant de nouveau et prenant rfoi) = const., on

aura ^

d^a: =: d*p cosu — 2dp sincûdtù — 0 cosoxifli)*, d*jr =. d*p sin w -+- 2dp cos<ad<a — p smtùdca*.

On déduit de ces formules

dx* -h rfj* = dp* -H- /)• é/M«,

dxd^jr — djrd^x = — pd*pd(ù -h ^dp^dra -{- p*dbi*;

on a donc

(^pt|.pi^o*«)'

— pd*pd(a -+- 2dp*d(û -i- p' Jca'

74. Dans les questions où il y a lieu d'exécuter un changement de variables, il peut arriver que les anciennes variables ne soient pas données immédiatement en fonc-

gf) CALCUL DIFFERENTIEL.

lion des nouvelles, mais qu'elles soient liées à celles-ci par des équations difierentielles données. Dans les cas dont nous parlons, il arrive quelquefois que les équations différentielles données suffisent avec celles qu*on en déduit, par la différentiation, pour éliminer les anciennes variables de l'expression qu'il s'agit de transformer. Nous allons en donner un exemple; à cet effet, nous reprendrons la fonction

Il V^ — J; 9

' a-jr

dont nous nous sommes occupé au numéro précédent, et nous allons chercher ce que devient cette expression de V quand on substitue k x elj" deux autres variables pets liées aux premières par les équations

(3) iU^-vih^ — ds^,

et que l'dn prend ds pour la différentielle constante.

Nous commencerons par transformer V de manière que la variable indépendante ne soit plus désignée, et nous obtiendrons, comme précédemment,

(^' '^ cUd^'y —dyd'-x'

Cela posé, la différentiation des équations (2) et (3) donne

(5) xdx-^xdjr= pdp,

(6) djcd^x -^ djrd^jr = O'^

enfin on a, en différentiant l'équation (5),