CHAPITRE IV

DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES DES DIVERS ORDRES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.

De la différentielle totale du premier ordre d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.

75. On nomme différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables la somme des difTérentielles partielles relatives aux. diverses variables; on représente cette difl'érentielle par la caractéristique d. Ainsi l'on a

du du du ^ du ^

dx djr dz dt

De cette définition découlent les conséquences suivantes :

I® «Si pour les valeurs des variables indépendantes Xj y, * ' '9 ty comprises respectivement entre certaines limites, une fonction u se réduit à une constante, sa différentielle du est nulle; et réciproquement, si la dif" férentielle de la fonction u est constamment nulle, la fonction se réduit à une constante.

En effet, si u se réduit à une constante, les dérivées

du du du n / « jMs 1 t ,./.

T-j y- > •••> 37 sont toutes nulles (n° loj; donc la différentielle du est nulle aussi.

En second lieu, si l'on a ^li = o, ou

du - du du ,

-;-- fte 4- -7- ^ -f- . . . -f- -T- rfr = o, ÙJs dy ôt '

CHAPITKE IT* 99

comme dxy dy^ • • • , dt sont des quantités arbitraires, on doit avoir séparément

au du du

dx ' dy dt

La première de ces formules montre que u est indépendante de X (n^ 15), la deuxième que u est indépendante àejy ..., enfin la dernière que u est indépendante

de t. On a donc

u z= const.

a** Si pour les valeurs des variables indépendantes Xy y, . . •y ty comprises respectii^ement entre certaines limites, deux fonctions s^ et w ne dijjhrent que par une constante, les différentielles de ces fonctions sont égales; et réciproquement y si les différentielles des fonctions if et w sont égaleSy ces fonctions ne différent que par une constante.

Cette proposition est contenue dans la précédente en supposant dans celle-ci u = |/ — fv.

Théorème relatif à la différentiation d'une fonction composée de fonctions de plusieurs variables indépendantes,

76. Théok^e. — Si u désigne une fonction de plu* sieurs variables a:, j^, js, . . . , t, qui soient elles-mêmes des fonctions de certaines variables indépendantes, on aura

du , du ^ du . du ^

£//* = ~- £/x + -r- ^ -+- -r- OS-f- . , . -4- 3- rf/,

dx djr dz dt

comme si Xy y, z, • • • , t étaient les variables indépen^ dantes.

En effet, soient (t y?» (,•••» ^ I^s variables indépen-

dantes; si Ton remplace x,j-,Zy..,yt par leurs valeurs fonctions de $^ w, ^ . . . , w, on obtiendra l'expression de u en fonction de ces mêmes variables. Cela posé, on a, par définition,

, au j^ du j du ^ du -

Oq On dç dw

Or — d^ est la différentielle partielle de u regardée

comme une fonction de la seule variable Ç dont dépendent a:, j^, z, . . . , t; donc on a, par la règle de la différentîation des fonctions composées de fonctions d\me variable indépendante,

du du (dx ,\ du fdt \

on a aussi, par l'application de la même règle, du du fdx , \ du fdt \

du , du fdx , \ du fdt , \

-r- rf» = — - I —- rfw -h . . . -j- -— __ ^w .

dw Ôx \(7« / dt \d(>i J

En ajoutant toutes ces égalités, on formera l'expression suivante de du :

, du fdx ^ dx , dx \

Ox \(7S dïi ôtù ]

du ( dy dy dy ^

dy \ dl dm dc^

du f dt ^ dt ^ dt \