CHAPITRE IV. 10 I

or les sommes qui multiplient respectivement les dérivées

partielles

du du du

ÔJC ôjr ot

dans cette formule, sont précisément les valeurs des difTérentielles dx, dj^ . . . , r/^ ; on a donc

au ^ du ^ du ,

a tt ^ 3- rfx 4- -r- rfr -h . . . -f- -T- dt. dx dy dt

Corollaire. — Les règles de la différentiation des sommes, des produits, des quotients et des puissances de fonctions d'une seule variable sont applicables au cas des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

Différentielles totales des ordres supérieurs des fondions de plusieurs variables indépendantes.

77. Soit du la différentielle totale de la fonction w. Nous désignerons par rf^u la différentielle totale ddu de duy prise en attribuant aux variables des accroissements égaux à ceux qui entrent dans l'expression de du, parrf^M la différentielle totale de d^Uy et ainsi de suite, en sorte que, dans la suite

(1) (lu^ fPu, iPu, ..., d'^u, ,..,

chaque terme exprimera la différentielle totale du terme précédent.

Les fonctions (i) sont dites les différentielles totales du premier, du deuxième y etc., ordre de la fonction u,

La différentielle totale du premier ordre a pour expression

/ X . . du . du . du .

lOa CALCUL DIFFÉKENTIEL.

et Ton en déduit que la différentielle totale d'ordre n peut être représentée symboliquement par la formule

/o\ »« /d« j au , du \

^ ' \ôx ôy ôt

pourvu que, après avoir exécuté le développement du second membre, on remplace, dans chaque terme, les facteurs de la forme

par la dérivée partielle

dr*d7*...()r*

Il suffit, en effet, pour justifier cette assertion, de répéter ici textuellement le raisonnement dont nous avons fait usage au n® 65, en traitant de la différentiation des fonctions composées de fonctions linéaires d'une seule variable. Les deux questions sont évidemment les mêmes, puisque les différentielles des variables sont constantes dans Tun et l'autre cas, et qu'ainsi les différentiations successives suivent la même loi.

78. La formule (a) du numéro précédent subsiste (n° 76) quand x^y^z^ ..., i cessent de représenter les variables indépendantes ; mais il n'en est pas de même de la formule (3) quand /z est > i , à moins que x^y^z^ ,,.^t ne soient des fonctions linéaires des variables indépendantes. Dans le cas général, é/x, ^, ..., ^f^ ne sont plus constantes, et pour avoir d^ u il faut différentier la formule (a) , en considérant chaque terme comme un produit de deux facteurs variables ; la règle de la différentiation des pro-

CHAPITHB IV. Io3

duîts étant applicable aux difierenlielles totales, on a

^du - du ^ au ^\

en écrivant d'une manière symbolique la partie de cette expression qui est indépendante des différentielles des ordres supérieurs au premier. On pourra calculer, en suivant la même marche, les différentielles totales d^ u, d*u, ....

Mais, dans la plupart des cas, il est préférable de chercher séparément les diverses dérivées partielles qui concourent à former les différentielles totales dont on a besoin, ce qui ramène le problème au cas des ionctions d'une seule variable. Effectivement, si |, >?,..., w désignent les variables indépendantes et qu'on veuille calculer

on différentiera l'équation

u=/{x,jr, z, ..., t)

a fois par rapport à Ç, ce qui donnera -r-^ • On différenliera 6 fois le résultat obtenu par rapport à j'y ce qui donnera ^^, , ^> et ainsi de suite.

Calcul des différentielles totales des diuers ordres des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes,

79. Le cas le plus général des fonctions implicites est celui où l'on donne m équations entre n variables indé-

pendantes et m fonctions de ces variables. Les seconds membres des équations dont il s'agit étant supposés nuls, les premiers membres sont des fonctions composées de fonctions des n variables indépendantes qui se réduisent à zéro ; par conséquent, leurs différentielles totales des divers ordres sont nulles. On peut donc, par des différentiations successives, déduire des équations proposées des systèmes nouveaux qui feront connaître successivement les différentielles totales du premier ordre des m fonctions considérées, puis les différentielles totales de deuxième ordre, et ainsi de suite.

80. Mais, au lieu de calculer directement les différentielles totales, on peut chercher séparément les diverses dérivées partielles qui figurent dans leurs expressions : le calcul de ces dérivées partielles s'exécutera par la règle qui se rapporte aux fonctions implicites d'une seule variable indépendante.

Considérons, par exemple, le cas d'une fonction z des variables x, jy liée à ces variables par une équation donnée

Soient p et (/ les dérivées partielles du premier ordre

dz dz