CHAPITRE IV
Félimination d'une seule fonction arbitraire ; Téquation aux dérivées partielles qui résulte de cette élimination est alors du premier ordre.
Considérons d'abord trois variables jt, ^, z dont les deux premières soient indépendantes. Soient u et ^ deux fonctions données de ces variables et4>(M, ^) une fonction arbitraire de u et de ^'. Nous supposons que la fonc* tion z soit liée aux variables .r, y par l'équation
et nous nous proposons de trouver une équation, entre ^f y^ ^ et les dérivées partielles de z, qui soit indépendante de la fonction 4>.
On peut, si l'on veut, supposer l'équation (i) résolue par rapport à v \ alors on a
et, comme la fonction 4> est arbitraire, la fonction f Test aussi; mais il n'y a aucune raison pour préférer cette dernière forme à la précédente.
Les dérivées des fonctions u et (^ par rapport à x sont, d'après la règle du n<» 33,
du du àv àv
àx àz OJn Ôz
pareillement les dérivées des mêmes fonctions par rapport à j- sont .
du du dv dp
djr ^ dz^ dx dz^
en posant, comme au n<» 80,
dz:=^ pdx -\- q dy* Si donc on différentie l'équation (i), d'abord par rapport
I08 CALCUL DIFFéREKTIEL»
à Xj puis par rapport kjj on aura
d^/du du\ d^/dv dv\
des équations sont homogènes par rapport 3i-r-,-r->
et l'élimination de ces dérivées donne immédiatement Téquation
/ON (au du\ làv dv\ fdv dv\ [du du\
Si Ton effectue les multiplications indiquées et qu'on fasse, pour abréger,
du dp du dv dy dz dz dy
du dv du dv
dz dx dx dz
„ du dv du dv
dx dx dy dx
Téquation (3) deviendra
Telle est l'équation aux dérivées partielles du premier ordre que nous voulions former : elle est linéaire par rapport aux dérivées partielles/? et y; P, Q, Vy désignent des fonctions données des trois variables x, j-, z,
83. Le résultat que nous venons d'obtenir s'étend de lui-même au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Effectivement, si
ar, j?!, ^|, • • • I ^,
chavithe iy. 109
désignent n-f-i variables dont les n dernières soint indépeqdanteSy et que l'on fasse
SI, en outre y
''i» ^ty • • •» ^t
représentent n fonctions données des variables x^x^f . .., Xny Téquation
donnera, par Télimination de lafonctioa arbitraire^, une équation aux dérivées partielles du premier ordre qui sera linéaire relativement aux dérivées pty p^y - • • > pn^
Pour démontrer ce théorème, difTérentions l'équation (1) successivement par rapport aux variables indépendantes OTi, Xa, . . . , Xn, on aura
^P' ôx ) ^ du, \dx, ^P' dx )^--^ àu^ \dx.
dx
du à
d* fdu,
Pi
dtf/i\
ôx y""
d* fàui àui \ôxn
(du, dttA d* (àu^ a«,\ d* (àu^ ôuA
et il est évident que, si Ton nomme D le déterminant de n^ quantités :
du.
crx| ' ûx
duy dui
di/]
dj?i dx
dui du, d*. "^^* dx
du^ du^
dx, ^^' dx
du, du.
du^ du,
A^ ^ Pn A-
dUn
dx,
dw„
Pi
dx
du,
dx, '^P^ dx
à-n^ du^ n dx
dx.
IIO
l'équation qui résulte de rélimînation de -r — 9 v— > •••> entre les équations (a) sera
àun
Désignons par A le déterminant
duf
àXn
dxt
et par A^ ce que devient A quand on y remplace la ^ièm« ligne horizontale, savoir
dx
dx
par
Ox OX
dx
Il est évident que, si Ton remplace la première ligne de A par la première ligne de D, on obtiendra un nouveau déterminant A^*^ dont la valeur sera
remplaçons la deuxième ligne horizontale de ce déterminant A^*) par la deuxième ligne horizontale de D, on obtiendra un nouveau déterminant A^^^. Or, par le changement dont il s'agit, A devient A -4-/>a A3 ; quant k p^A^, il ne change pas, car la quantité dont il s'accroît est un déterminant dans lequel deux lignes horizontales sont composées de quantités proportionnelles aux quantités (3)
