CHAPITRE lY. III

et dont la valeur est, en conséquence, zéro; ainsi Ton a

A('^ n^ A -f- /?i Al H-/>i Aj.

Le même raisonnement prouve que si, dans le déterminant £^^^\ on remplace la troisième ligne horizontale par la troisième ligne de D, on obtiendra un déterminant A^'^ dont la valeur sera

A(»^ = A -h /?, Aj H- />4 A, -f-/73 Aj,

et, en continuant ainsi, on trouvera que le déterminant A^"^ ou D dont nous nous occupons a pour valeur

D = A -+- /?! Al -4- /?, A, 4- . . . -h /?„ A„,

ce qui démontre la proposition énoncée.

84. Théorème relatif aux fonctions homogehes. — Une fonction de plusieurs variables est dite homogène lorsque, les variables étant multipliées par une indéterminée t, la fonction se reproduit multipliée par une puissance f" de f . L'exposant m de cette puissance peut être entier ou fractionnaire, positif, nul ou négatif; il est dit le degré d^ homogénéité de la fonction.

D'après cela, si/(xj , Xj, . . . , Xn) est une fonction homogène, on aura, quel que soit t,

et, en faisant t = — j

ainsi toute fonction homogène x des n variables x^^ X27 > . », Xn peut se mettre sous la forme

X = a?^ ri — > — 9 •••, )•

lia CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On peut exprimer, par le moyen des dérivées partielles, cette même propriété des fonctions homogènes, et à cet effet il suffît d'appliquer la méthode du numéro précédent à Féquation

OÙ nous supposons

Si Ton fait, comme précédemment, on formera les équations

/?- m.r / dF .r, (?F :r, (JF !!? 33 f L -j f- -j ^

En ajoutant toutes ces équations, après les avoir multitipliées respectivement par x^ x^, ^2«a:ï*, • . . , on aura

mx =piXi'hpiX^-h. > . -hpn^n^

d'où il suit que :

Théorème. — Toute /onction homogène du degré m est égale au quotient de la dis^ision par m de la somme de ses déris^ées partielles du premier ordre, multipliées respectivement par les variables correspondantes.

Corollaire. — Les dérii^ées partielles d* une Jonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — i .

Cela résulte immédiatement des formules