CHAPITRE IV. Il

85. L'élimination dont nous venons de nous occuper conduit à des équations aux dérivées partielles qui sont linéaires par rapport aux dérivées. Il nous reste à faire connaître le procédé général au moyen duquel sont forméesy comme on le verra dans le Calcul intégral, toutes les équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Examinons d'abord le cas de trois variables x,^, z dont les deux premières sont indépendantes, et posons

dz ■=^pdx -t- qdy\

Soient CL un paramètre variable, cp (a) une fonction arbitraire de ce paramètre, et

une fonction donnée des cinq quantités x^y^ z, «,({>(«). Considérons le système des deux équations

Si la fonction arbitraire cp était fixée, et que l'on pût éliminer a entre les équations (1), on aurait une équation entre les trois variables .r^y, z. Mais, lors même que la fonction Cf demeure arbitraire, on peut toujours regarder z comme une fonction de j: et de^ déterminée par le système des équations (i). Cela posé, nous nous proposons d'éliminer la fonction y des équations (i), par le moyen de la dlfférentiation. On peut raisonner comme si l'élimination de a pouvait être exécutée ; ainsi l'on peut regarder a, dans l'équation V = o, comme une fonction de x,

y^ t déterminée par l'équation — = 0. Alors, si Ton

prend la différentielle totale de la première équation (i),

on aura

aV ^ dV ^ r)V ^ dV ,

àx dy Oz Ok '

S. - Cale. diff. 8

Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

mais le dernier terme de cette formule disparaît en vertu de la deuxième équation (i), et si Ton remplace dz par sa \d\euvpdx -h <ldy^ on devra égaler séparément à zéro les coefficients des deux différentielles arbitraires dx et dy ; on aura donc

Maintenant on peut éliminer le paramètre a et la fonction f (a) entre les équations (a) et la première des équations ( I ) ; on obtiendra ainsi une équation

(3) F(jr,r»2t/'i7; = o»

qui est aux dérivées partielles du premier ordre et qui peut avoir une forme quelconque. On verra plus loin que, si x, jy z représentent des coordonnées rcctilignes, Téquation (3) exprime une propriété du plan tangent commune à toutes les surfaces que représentent les équations (i).