Exemple. — Soit R étant une constante. On a ici
les équations (a) du n^ 85 sont donc
Si l'on en tire les valeurs de x — a, j — 9 (^ ) po'ir les substituer dans l'équation V = o, il viendra
ou
CHÀPiTKis nr. it5
ce qui est Téquation aux dérivées partielles qu41 s'agissait de former.
87. Passons maintenant au cas général. Soient Xi^ x^, • • • 9 «^/i les variables indépendantes , x la variable qui en dépend et que l'on nomme souvent la variable prin^ cipale, faisons aussi
Soient en outre «i, «2, . . . , an.u 'z — i paramètres variablesy et
une fonction arbitraire de ces paramètres; désignons enfin par
V nzy (.r, ar^, jTj, • • • , ^n 5 *» *i» • • • i ^n— i )
une fonction donnée des /i 4- i variables, des n — i paramètres et de la fonction a.
Cela posé y considérons les n équations
dV dV dV
doLi do, * * ' da„,
qui déterminent Xy ot^, a^, . • . , a„| en fonction de x^^ x^y . . . , Xny et proposons-nous de déduire de ces équations une équation aux dérivées partielles indépendante de la fonction arbitraire a.
La marche à suivre est ici la- même qu'au n^ 85 ; la différentielle totale de V doit être nulle, et Ton a
dV . dV ^ dV ^
-■— - ax -h -r — axt H- . • , 4- -; — «a?»
dV ^ dV ^ -+-3— tfa, -h. . .4- -z «««-1^0,
les dérivées -r— » -.—5 • • i> -j étant prises en regardant a
Il6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
qui entre dans V comme fonction de ai, a^^ . , , ^ o^n-i. Comme les coeflicients de dxi, da.^, ..., dan^i sonl nuls, en vertu des équations (i), on a simplement
-.— dx H- - — dx^ -h . . . -+- -r — ax„ = G.
Remplaçons dans cette équation dx par
P\ d^\ + Ptd.r^ -^ • • '-^PndXn^
les différentielles restantes dx^, dx^, • • • , dxn étant arbitraires, leurs coefficients devront être nuls séparément^
et Ton aura
dV dV
(7^1 Ox
{2) ( 0.r^ dr
Maintenant, si Ton élimine a, «i, (Xj, . . . , ff„.| entre les R équations (2) et la première équation (i), on obtiendra une équation résultante
(3) F(^, .rj, j„ . . ., .r„;^i,pj, . . .,/>„) = 0,
qui sera Téquation aux dérivées partielles démandée.
Du changement des variables indépendantes,
88. Le problème que nous nous proposons de résoudre peut être énoncé comme il suit :
Soit u une fonction de m variables Xf yy z, ... ; si l'on considère x^y^ Zy ... comme fonctions de m nouvelles variables Ç, iQ, ^, . . ., u deviendra une fonction de ces mêmes variables. Cela posé, on demande d^ex-
