CHAPITRE IV

primer les dérivées partielles

du du du

dx djr àz

d-r* ÔXÔY d.rdz

relatii^es à l'hypothèse de x,j, z, . . . variables indé' pendantes, en fonction des dé/iv^ées partielles

du du du dV *^' âç' •••' d^u d^u d^u 'W' d^' àïdrî' ***' • •?

relatix^es à l'hypothèse rfe Ç, >7, Ç, . • • variables indé^ pendantes.

Ici les anciennes variables or, ^, z, . . . sont données en fonction des nouvelles \, >},?[, . . . , et réciproquement celles-ci sont des fonctions connues de Xj y^ z, .... Regardant alors u comme fonction de Ç, rj, î[, ... et Ç, >?, 2[, . . . comme fonctions de x,y, z, . . . , la solution de la question proposée se déduira immédiatement de la règle de la différentiation des fonctions composées.

On a effectivement

/ \ . au ^ du ^ au ^

^ ' di ôa d^ '

puis

rfÇ =r — - Jx -I- — dr -+- rfz -4- . ,

dx Ojr ÔZ '

dx dy àz '

Les variables ^^ y;, ^^ • . • étant données en fonction dcx,

Il8 CtT-CUL DIFFénEKTIEL,

r, 3. .... les dérivées -v » •■-• -.-» ■•■ sonl elles-mêmes

■" ' ' dx dx

des fonctions connues de jt, y,z. . . . , mais on devra les

exprimer en Ç, W, ^ On substituera ces valeurs dans

l'équation (i) etles cocflicients de dx,dy, dz. . . . seront les expressions demandées des dérivées partielles

du du du

dx ày di en fonction des variables \,-n,X.i ■ ■ - et ^es dérivées

du da du

()ï ' du ' (); '

On procédera de la même manière à l'égard des dérivées d'ordres supérieurs; ainsi l'on a

, du . du . du

,da d.r „ âx , (l.r ^

à-r Ûi; dr, dZ

et, quand on aura substitué dans le second membre à -rla valeur précédemment obtenue, puis à d^, dn, dt,, . .. les valeurs tirées des formules (3), les coefficients de dx, dy, dz, — exprimeront les valeurs demandées des dérivées partielles

dx* dxdy àxdt Pareillement, en faisant la même substitution dans la formule

,do .du

dr

^T à^ df^

dj dr . dr ^

di du iK

OD

obtiendra les expressi

ons cherchées des dér

ivées

d'u dh

dx dx àj

emière a déjà 1

été calculée, et ainsi

de suite.