CHAPITRE IV. I

La même méthode est évidemment applicable aux dérivées de tous les ordres.

89. Application. — Les points de l'espace peuvent être représentés soit par trois coordonnées rectangulaires x^yy z, soit par trois coordonnées polaires /', 6, ^ qui sont liées aux premières par les formules

(1) x = rsin0cos^, / = rsinôsini}», zi^rcosô,

Cela posé^ la quantité u ayant été d'abord regardée comme fonction de Xyj, z, on demande d'exprimer les dérivées de u du premier et du deuxième ordre, savoir:

du du du d^u d*u â*u (Pu d^u d^u à-r* dj' dz^ do:*' ÔJ^df dxôz ôy- djr ôz dz*

en fonction des dérivées relatives aux nouvelles variables indépendantes r, 9, ^.

On tire des formules (2)

xdx "^ ydy -'- zrh dr~ :=-^ ^ ,

z'\xdx - ydr\ — ' .r}-\-y^)dz dJ -— y

f — r d.r - '- .r dy ) cos* ^

^^- Zi -^

OU, à cause des formules (i),

dr : : sinÔ cos^f'^ar -î- sinOsm-^dj- -h cos Odz^

/ 2 \ jdB '-sz - cosô cos^L djc H — cosÔ sm^dy sin Q dZ;

I sini!» , I cos^ , d^=. -,-L djc'\ ~ dr.

CALCUL difféhentiel.

Si Ton substitue ces valeurs de dr^ dQ^ d^ dans la

formule

du . du ,. du ,

''« = (); ''"+dê ''' + 5^''+'

on aura

du

j du à} du dz

du . ^ , du cosdcostlf

-T- smdcosuf -4- -T7-

dr ^ dS r

du , ^ , , du cosdsînif»

.- smO sinil/ -H -^ -

dr ^ dB r

du ^ du sind

^- cosô — • •

dr de r

du sîn^ d^ rsinô

du cos^ff d^ rsinO

Il faut maintenant former les différentielles totales de

du du . du

dx dy dz '

ou, ce qui revient au même, les dérivées partielles de ces quantités par rapport à r, fl, <|i. On trouve

^ du Jf

dr

d^u , ^ d^u cosôcosJ>

dr* ^ drâQ r

du cosô cos^ du sin-|»

d^u sintp

drd^ rsinB

ôx

(5) \ dO ôrOb

OQ

sinO ces y

d^ r^sinO

H- -. - COS0COS^f'

Or

d*tt cosô ces tp d^u sîntp 'dô* r dOd^ rsind

d£; sindcns){> duco^Bsm'^

ÔQ

d^ r sin* B

du

= sinO cosil; -f-

d^u cosOoosiJ» d^u sini}>

drO

du . ^ . .

— , - sui 6 sm il;

dr ^

de d'if r d-y rsiuô

ducosesm^lf du cosif» ^ de r d'^ rsinè'