CHAPITRE IV

d*a d^u , ^ « . . ^*« fcos*0 — sin*5]sin'i^ ô^u cosôcosA ^—p "= -T-i sin^ cosô siDT^ -;- - — - ^ — ^ -h -~— — - .- ^^

^*a sinôcosôsini/; r)'tt ros^J»

~" W ^ dÔÔ^ "7*"

du sin 0 cos 0 sin ^ d// f cos' 6 — sin* 0 ) siii >}» ■" cir r (^ï ?» '

ô^ti ô^u -^ £?*M sinôcosô ô^us\n*Q

. — PO<î*a o • — - - -- - -

ôz* "~ dr* dr09 r ' dô

du sin* B du sin 6 cos 0

or r dQ r

90. On peut souvent abréger, en employant des artifices convenables, les calculs nécessaires pour exécuter un changement de variables ; nous croyons utile de donner une idée de ces simplifications en traitant ici une question qui se rencontre dans diverses théories mathémaliqucs. Nous nous proposons de transformer l'expression

en substituant aux coordonnées rectangulaires x^jy z les coordonnées polaires r, 0, ^, On obtient immédiatement la solution de cette question en faisant usage des formules du numéro précédent, mais nous voulons exécuter la transformation sans recourir à ces formules.

A cet eflel, nous substituerons d'abord à x etj les deux variables p, ^ telles que

X=:: pCOS^y ^ =r p sin\f>,

ou

1^4 CALCUL DIFFÉBENTIEL.

On tire de là

dp z=z J— -L :^ COS*f ^X -4- Sm^ify,

^X'-f-jr*

dé = ^ — 1 — L ^x H ' dr.

Ceséqualionsdéterminent-- » --î -7-1 -.-; on en conclut ^ ôx ôx àx ôj

[ du du , du siTi'h

l T- = V COS>(^ — ^- >

I dx dp ^ d>P p

' dtt di/ . , du cos-i> dj dp ^ d^ p

En ajoutant les équations (2), après avoir multiplié la seconde par \ — i , il vient

...du du f , , . ,\(du t— I du\

Désignons par \f la valeur de chacun des membres de la formule ( 3 ) ; comme cette formule subsiste quelle que soit la fonction u et quel que soit le signe qu'on donne au

radical y — i , on aura, en remplaçant u par v et en mettant — v~^ ^ ^^ ^^^^ ^^ \ — ' »

dv dv

^'\up p d^J

^^^ ^^ — V — i^^=.cos^ — V- isin

De l'égalité

du du

dx * dj-

on conclut

dv dv d* u d^ N

dx ^ dj Ox' dj*

et l'égalité

/ , / . .\( du yj— I du\

Op p d'i^J