CHAPITRE IV
donne ensuite
/ y . ,\fdv \l — I dv\ d^u I d^u I du
Ainsi Ton a
etj par suite,
,^, â^ti â^u I d*tt I du
^ ' ^ — â?"^"3^"^p' d^^^'^P dp*
Pour achever la solution, il reste à substituer aux variables peiz les variables nouvelles r et Q, liées aux précédentes par les équations
z:=rcosÔ, p = rsinô.
Or, si Ton remplace, dans la formule (5), x, j^, p, tppar Zy f-, /', 6 respectivement, il viendra
â* n d^u d^u \ ô^u ï du
en même temps la seconde des formules (2) donnera par le même changement
du du , ^ du ros0 dp dr dô r ^
on aura donc, en substituant ces valeurs dans la formule (6) et en remplaçant aussi p par r sind,
d'tt ^ du I d^u i d^u cosQ du
'"d^~^rd7'^r^ sin» Ô d^ "*" ^ âô»" "*" r«^i7ô d6 '
Les deux premiers termes de cette expression multipliés par r donnent la dérivée — t-|- 3 les deux derniers termes
a6 CALCUL DIFFÂREIfTIEL.
f multipliés par r^ sinQ donnent la dérivée — - ; on
f a donc
., dlsinO ^]
1 d*u I \ de I
Il est souvent avantageux de prendre
COS0 r::: fl
pour variable au lieu de 6 ; alors on a
du du d[i. • « <^" j> * • A ^'w / tv au
-. — —- -^- = — smô 3-î d'où sinô— - =—(i— a*)— -,
de Oy. oe ôfi de ^ ^ ^ dft
puis
K"-4:) <""•»).. . /'-^-il
de dfJL dii *
et l'on obtient finalement l'expression suivante de S en fonction des variables indépendantes ry (ly ^:
, d^m) 1 d^u . ^^' ^Ufi
dr* I — fi' di(^* dfi
Du changement de toutes les variables.
91 . Lorsque l'on veut changer la variable principale en même temps que les variables indépendantes, la marche à suivre est la même. Supposons que Ton ait introduit dans un calcul une variable u fonction de m variables indépendantes XyjyZj ... y et qu'ou veuille adopter une autre fonction v de m nouvelles variables indépendantes Ç, riy
chapithe iv. 127
î[, .... Il s'agit d'exprimer les dérivées partielles
dxd/
en
fonclion des dérivées
partielles
du
du
d»u ' dS*'
Dans cette question, les m -f- 1 variables de l'un des systèmes que l'on considère sont données en fonction des m-f-i variables de l'autre système. Ainsi u, ^, y?, ?[♦... sont des fonctions données de u, Xjj-, z, , . .y et leurs diflTérentielIes totales seront de la forme
dv — V^du H- UidlrH- U,^^-t-. . .,
efj 1— Xo </tt -4- Xj fl^.r -h Xj é(f + . . . , dii = Yodu 4- Yifltr-i- Yi^fr H-. . ., • »
U09 Um • • •? X07 X|, ... étant des fonctions connues des variables u^ x, j , z, .... Mais u étant une fonction de X, J'y z, • • • y on a
, du . du ^ du=z -^dx^- -^^ dr -h. . ,j ax ày
A = (Ui -+- Uo -^" ) rfor-i- (U, -+- Uo ~ ) ^r -I-
ety par conséquent,
Si maintenant on porte ces valeurs dans la formule
■ \ , àv -, dv , du ^
ia8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on obtiendra une équation qui devra subsister, quelles que soient dx, dy, dz, . . . , et qui se décomposera en m autres, savoir :
(^'-^^ Txj-à-^ (^«■^■^'' ■£) 5i -^••••
On peut exprimer Uo, Ui , . . . , Xo, . . . en fonction des variables v, Ç, y?, ?[, . . ., et les formules (3) donneront
alors les valeurs demandées de -r- > .->•■••
ox ojr •
Pour passer aux dérivées du deuxième ordre, il suffira de différentier les équations (3). Considérons, p^r exemple, la première équation du système ( 3 ), différentions-la
totalement, remplaçons ensuite d -r- par
dr«
dx -+-
dxôjr *^
"^ dxdz
rfï-t-.. .,
dv,
par leurs valeurs respectives
3r rt Ç 4- 3- 013 + ... ^
oi On
dÇ()iî ' Re-
mettons enfin pour d\j dm, • • . les valeurs tirées des
