CHAPITRE IV. lag
formules (i). L*équation ainsi obtenue aura lieu quelles que soient les difTérentielles restantes dxy dj, rfz, ... ; par conséquent elle se décomposera en m autres qui feront connaître les expressions des m dérivées partielles
On calculera de la même manière les valeurs des autres dérivées du deuxième ordre
àjr* dj Ôz
Les dérivées des ordres suivants s'obtiendront évidemment en suivant la même marche.
Enfin il est aisé de s'assurer que la méthode précédente est encore applicable dans le cas d'un nombre quelconque de variables dépendantes, quel que soit le nombre des variables indépendantes.
Transformation de Legendre,
92. Legendre a fait usage dans certaines questions d'une transformation qui o'ffre souvent des avantages et que nous indiquerons ici, en nous bornant au cas de deux variables indépendantes.
Soit z une fonction des variables indépendantes x, y ; désignons par
( ï ) dz =:pd,T -1- q dy
la différentielle de Zy et par
. I dp—rdx-^sdy,
^ 1 </7 rrr sdx -f- tdy
les différentielles de p et ^r.
S. — Cidc. diff, 9
l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si Ton pose
(3) uzrz-.px-hqy — z^
on aura
du = [pdr -;- qdjr — dz) -h xdp -^ ydq^
OU, à cause de la formule (i),
(4) duz=. xdp -i- ydq.
En outre, si Ton résout les formules (2) par rapport à dx et d}% il viendra
rt
•^ rt — s* ' rt — s* ^
La transformation de Legendre consiste à prendre p, qy II pour variables, au lieu de x^y, z, et à choisir p et q pour variables indépendantes. Alors la formule (4) montre que j: et j^ sont les dérivées partielles de u par rapport à/? et q respectivement; ainsi Ton a
f^' dp^^' ôq-^'
ensuite les formules (5) montrent que -• '-,^
j sont les valeurs des dérivées partielles
ôx d.r ôy dy
dp Ôq dp Ôq '
on a donc
dp^ n — s* ôpdq rt — s^ ôq* rt — s*
