Théorème I. — Si la série

Uq, tt|, £{|, . . ., 2^ A— Il • • •

est convergente, la somme

tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmente in^ définiment.

En effet, désignons par S la somme de la série ou la limite vers laquelle tend la somme

S„ r= «0 H- «1 -h . . . -4- ttu-i

de ses n premiers termes. La différence

tendra vers zéro quand n tendra vers l'infini, et la même chose aura lieu pour chacune des p différences

( a ) S ^n-¥U S S;»+s, • . • y S S^rf-p*

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si Ton retranche ces différences (2) de la différence (i), on obtiendra les résultats

qui s'annuleront aussi pour 72 = 00. Or on a

— S„ — tt„,

"T- . • • ~T~ Uff.y.p \ \

donc : i^ les termes d^ une série com^ergente décroissent indéjininient, de manière à avoir zéro pour limite; a** la somme de tant de termes que l'on voudra pris à partir du n'^'"" tend vers zéro quand n augmente indéfi/liment,