CHAPITRE T

Gela posé, le nombre n restant invariable^ faisons tendre p vers rinflni, la somme S;,^;, restera toujours comprise entre deux quantités déterminées S,, — e, S«-l-6 dont la différence 2 e est aussi petite que Ton veut ; d*où il suit évidemment que S,,^.;, tend vers une limite déterminée quand p o\xn-\- p augmente indéfiniment.

Cette démonstration acquiert plus de clarté quand on lui donne une forme géométrique. Soit O un point fixe d'un axe Ox. Prenons sur Ox à partir de O une longueur ON = Srt, puis faisons AN = NA'=s; prenons aussi OP = S,,^;,, le point P tombera entre A et A'. Ainsi

la somme Sn+p des n-{-p premiers termes de notre série peut être représentée par une abscisse dont Fextrémité tombe constamment entre deux points donnés A et A^; elle est donc finie, mais de plus elle est déterminée, car la distance AA' peut devenir moindre que toute longueur donnée.

Corollaire I. — Une série Uo, u^, u^, • •• est con-* uergente lorsque les valeurs absolues de ses ternies forment une série conv^ergente Uo, U|, U2, ....

En effet, la série Uo, U«, U2, . . . étant convergente, la somme U/, -h U,;^i -f- . . . -h U,/+;,i tend vers zéro, quel que soit p, quand n tend vers Tinfini ; donc la somme Un-h Ufi^i -h . . .-{' u„^n-\ tend aussi vers zéro, car sa valeur numérique ne peut être supérieure à la somme •précédente. Il s'ensuit que la série proposée est convergente.

Corollaire II. — Lorsqu^à partir d'un certain rang les termes d^une série sont alternatii^ement positifs et négatifs, il faut et il suffit, pour la convergence de la

l36 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

série, que les valeurs absolues des termes décroissent indéfiniment.

Le décroissement indéfini des termes est, comme on Ta vu, une condition indispensable pour la convergence d'une série ; dans le cas que nous examinons, cette condition est suffisante.

En efi*et, soit la série

ttg, u^^ xiji •••» ^^n—\* •••1

et désignons généralement par U„ la valeur absolue de Un, on aura, si n est suffisamment grand,

±'un-^ Wn^l 4-...-f- w„-Hp-i; == U„ — U„^l -+-... dz U^+p-f

Le second membre de cette formule peut être écrit des deux manières suivantes :

. on voit que la valeur de

est comprise entre zéro et lJn\ donc elle tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmente indéfiniment, puisque Ton a, par hypothèse, limU^^ = o. Donc la série est convergente.

97. On ne possède point de critérium pour décider en général si une série donnée est convergente ou divergente. Il faut, dans chaque cas, chercher à comparer la série que Ton doit considérer à d'autres séries dont la convergence ou la divergence est établie, et à cet égard nous pouvons démontrer une proposition de laquelle nous tirerons plusieurs conséquences importantes. Cette proposition se rapporte aux séries dont tous les termes sont