CHAPITRE V. l

positifs, mais les règles qui en découlent sont applicables à toutes les séries, en faisant usage du corollaire I du n*>96.

Théorème III. — Si la première des deux séries

*'oi *'i» ^it • • •! ^n — 1» • • •» tfoi "n ''îi • • •» ^n—li • • ♦

dont tous les termes sont positifs à partir d'un certain rang, est convergente et que Von ait constamment

pour toutes les valeurs de n qui surpassent un nombre donné, la deuxième série sera également convergente. Pareillement, si la première série est divergente et que l'on ait constamment

pjur toutes les valeurs de n qui surpassent un nombre donné, la deuxième série sera également divergente.

Dans le premier cas, la somme

tend vers zéro, quel que soit p, quand n tend vers Tinfini ; donc la somme

qui est formée de parties respectivement moindres, tend aussi vers zéro, et par conséquent la deuxième série est convergente.

Dans le deuxième cas, la série uoj u^ , u^, ... ne saurait être convergente, car autrement la série Uo, i'i> ^21 • • • serait aussi convergente, diaprés ce qu'on vient de dire, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Corollaire I. — La série Uq, u^, u^, ...« dont tous les

l38 CALCUL DIFFÉILEITTIEL.

termes sont positifs, est convier gente si, pour toutes les "valeurs de n supérieures à une certaine limite, on a

lï-f-i

A", A: étant une quantité inférieure à l'unité.

En effet on a^ par hypothèse, pour les valeurs de n suiBsamment grandes,

d'oïl, par la multiplication,

'^St±P^^P^ ou Un^p<APu^;

il résulte de là que les termes de la série proposée

"o* ^1* '^2' • • «^ ^nt "/H-l' ^n-hii • • •

sont, à partir du /i^*™* rang, inférieurs aux termes correspondants de la série

"01 **!» **!' • • •» ^n^ A'tt;,, A' 1/;,, . . ■•

Or cette dernière est convergente et elle a pour somme S„ H ^ -, donc la série proposée est elle-même con-

vergente.

Corollaire IL — La série Uo, m<, «o, • • • » rfo/if toii^ les termes sont positifs, est convergente si le rapport

""*"* tend vers une limite déterminée a inférieure à 1 ,

"rt

quand n tend vers l'infini.

En effet, puisque le rapport — ^^ tend vers la limite a, la différence -^^ — a restera inférieure à tout nombre

Un

donné pour les valeurs de n supérieures à une certaine