CHAPITRE V

limite ; donc on peut assigner une quantité k comprise entre a et i^ et telle que Ton ait constamment

on est alors dans les conditions du corollaire I^ et par conséquent la série proposée est convergente.

Remarque. — Lorsque la limite du rapport — "^- est

supérieure à i^la série est toujours divergente, puisque alors les termes ne décroissent pas indéfiniment ; mais

quand on a lim - "^- = i , la série peut être convergente : la proposition précédente n'apprend rien à cet égard.

Corollaire III. — La série u^yU^^u^y . . . , dont tous les termes sont positifs, est convergente si pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite ona\ u^ <^k, k étant une quantité inférieure à 1 .

En effet, on a

«rt -^ A

pour les valeurs de n suflisamment grandes; donc les termes de la série sont, à partir d'un certain rang, inférieurs aux termes de même rang de la progression

celle-ci étant une série convergente, la proposée est ellemême convergente.

Corollaire IV. — La série mo> "i , Uj, • . • , dont tous les termes sont positifs, est convergente si yjun tend vers une limite déterminée a inférieure à i .

Car on peut assigner une quantité A: comprise entre a et I, et telle que Ton ait

l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite.