Exemple I. — Considérons la série

où p est un nombre donné. Le rapport

a pour limite l'unité, et le corollaire II du numéro précédent est insuffisant pour le cas actuel. Le corollaire IV ne donne lui-même aucune lumière ; car on a

la fraction '-^^— tend vers zéro, comme on le constate n

au moyen d'une règle qui sera donnée plus loin, et par

conséquent V<'/2 tend vers l'unité. Mais le théorème III (n° 97) convenablement appliqué va nous permettre de reconnaître dans quels cas la série proposée est convergente.

Posons

^m. — ■; ... \ t . . "+" 't "z. \ rm "»" • • • ~î~

(2'")^+? (2'"-hl)'+^ (2'»-^*— l)^+P

GHAPITltS ▼• z4t

on aura évidemment

«.<4X|5!p5 ou <^,

par conséquent, dans la série

tf0, «1, l/s, . . ., Il|n, • • •«

les termes sont moindres que ceux qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la série

Or cette dernière est convergente quand p est positif : donc la proposée est elle-même convergente dans la même hypothèse.

Posons, au lieu des formules (i).

"• = rï^'

llf = -; »

l42 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on aura

«m> 2'^* X ■■,„,,,^, OU >

donCy dans notre série

X/q, «t, £/|, ..., ttn^, .•>9

les termes sont supérieurs à ceux qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la série