CHAPITRE V. t
dent a pour valeur, dans ces séries.
- ou
n Tî ( /ï -4- 1 )
et il tend vers la limite zéro quand n tend yers FinGni. 100. Exemple III. — La série
est convergente tant que x est compris entre — r et -l- r, car le rapport -^- a ici pour valeur
tt„i.l X
et sa limite y pour 71 = oo , est — x. Il est évident que la série est divergente, quand la valeur absolue de x est supérieure à i . Pour a: = -H i , la série est convergente parce que les termes décroissent indéfiniment et sont alternativement positifs et négatifs (n° 96, corollaire II); mais elle est divergente pour j: = — i (n° 98).
101. Parmi les séries convergentes, il faut distinguer celles dont la convergence est due uniquement au décroissentent des ternies et celles dont la convergence ne résulte que de la succession des signes; les séries de la première espèce restent convergentes quand on remplace chaque terme par sa valeur absolue, tandis que les autres deviennent divergentes quand on prend tous leurs termes avec le même signe. Il importe de remarquer que la somme d'une série convergente de la deuxième espèce dépend de l'ordre dans lequel les termes sont écrits.
Considérons, par exemple, la série
l44 CALCUL DIFFÉRENT lEL.
qui est convergente (n® 96) et qui devient divergente quand on prend tous les termes avec le signe -h (n**98). Formons une deuxième série avec les mêmes termes en reculant les termes négatifs de telle manière que chacun d'eux soit précédé et suivi de deux termes positifs ; notre deuxième série sera
je dis qu'elle est convergente et qu'elle n'a pas la même somme que la première.
D'abord la série (2) est convergente, car on peut réunir en un seul les trois termes consécutifs
dont la somme
Zin*-- 3a «'-T- 6/ï
est inférieure à -^ dès que n est plus grand que i ; notre
série étant écrite de cette manière, ses termes finissent par rester inférieurs à ceux de la série
qui est convergente (n® 98); par suite elle est elle-même convergente.
Maintenant arrêtons les séries (i) et fa) au terme
et désignons par S„, S'„ les sommes des termes conservés, on aura
CHAPITTIE V. 145
les /i — I termes de cette formule forment une suite décroissante; on a donc
Quand n augmente indéfiniment, les fractions —— — >
^ qn — I
ou > tendent vers les limites respec-
tives jet-] si donc on désigne par S et S' les sommes
des séries (i) et (a), on aura
S'— S>7 et S'— S<i;
les séries (i) et (2) n'ont donc pas la même limite.
102. Il peut même arriver que deux séries formées des mêmes termes pris avec les mêmes signes soient l'une convergente, l'autre divergente. Les deux séries
en offrent un exemple ; ici les valeurs absolues des termes sont les racines carrées des valeurs absolues des termes correspondants des séries ( i) et (2) du numéro précédent ; les signes sont respectivement les mêmes que dans ces dernières. La série (i) est convergente (n^ 96) à cause de l'alternance des signes -H et — ; je dis que la série (2) est divergente. En effet, soient S/j, S], les sommes obtenues
s. — Cale. diff. 10
t46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
en arrêtant les deux séries au terme -=y on aura
S„ — Su = — - ~f~ = + • • • + ■=^*i
le dernier des n — i termes de cette formule est plus petit que les autres. On a donc
S;,-S„>-^=~ ou >v^/i- V/4/1-1
le facteur 1 / a pour limite - et le facteur Jn — i
devient infini pour 71 =00 ; donc S'„ — ;■ S^ croît au delà de toute limite, et il en est de même de S'„.
103. Les détails dans lesquels nous venons d'entrer étaient nécessaires pour bien apprécier l'importance du théorème suivant qui se rapporte aux séries de la première espèce :
Théorème IV. — Lorsqu'une série est convergente et quelle reste convergente quand on y remplace chaque ternie par sa valeur absolue, on peut intervertir d'une manière quelconque l'ordre des termes sans altérer la convergence ni la somme de la série.
Soit la série convergente
(l) "ot "ti "«» •••1 "n— 1» •••»
et supposons que les valeurs absolues de ses termes forment aussi une série convergente
