CHAPITRE Y. l4y

je dis que la série #

( 3 ) «,, «e» w^, . . . , tt.», . . . ,

dans laquelle les indices a, P, 7, ... se succèdent suivant une loi quelconque, est convergente et a la même somme que la série (i).

En effet, prenons dans la série (3) un nombre de termes assez grand pour que les n premiers termes de la série (i) s'y trouvent compris, on aura

en représentant par =i= R la somme de ceux des termes u«, lif, . . . , u« dont l'indice est supérieur à n — i. Si Upy Uqy Ury . . .y u, désignent ces derniers termes, on aura

et, par conséquent,

R <Up -h D^ + U,.-h . . . -+- U,.

Soit R« le reste de la série convergente (2) arrêtée au terme Un.i, c'est-à-dire la somme de la série

comme les indices p^ q, r, . . . , 5 sont tous supérieurs à « — I, on aura

R<R;» ou R = eR„.

6 étant une quantité comprise entre o et i . Par conséquent, si Sn désigne la somme des n premiers termes de la sécie (i), la formule (4) deviendra

quand le nombre n tend vers l'infini, R;, tend vers zéro, par hypothèse; puisque la série (2) est convergente ; d'ail-

l48 CALCUL DIFFÉREIiTIEL.

leurs Sn a pour limite la somme S de la série (i); donc la somme

tt« -h ttff -f- "t 4- . . . -+- w«

tend aussi vers la limite S quand le nombre des termes augmente indéfiniment.