MULTIPLICÂTIOIT DÈS SÉRIES. ThÉORÈME V

Soient

(l) Uq^ «1, U), ..., tt|t— Il •••1

(2) Vq, Cl, t'a, ..., *»„„ ...

deux séries convergentes ajant respectivement pour sommes S et S' et qui restent convergentes quand on y remplace les termes par leurs valeurs absolues, la série

(3) wo» «'if «'ji •••» «'i»-i> .-j dont le terme général Wm o, pour valeur

e5f convergente et elle a pour somme le produit S S' des sommes des premières séries.

Désignons par S,,} ^n» ^n ^^^ sommes obtenues en ajoutant les n premiers termes dans les séries (i), (a), (3);

on aura

K= «'o -f «'i -+- «'j •+ . . . + «'«-1, ou

S^=«o«'o-^ ( I/o t'i -f- «i (^, ) -h («o*'j-+-«i<'i-H Wiï'o) +...

Nous supposerons d'abord que les termes des séries (i) et (2) soient tous positifs. Alors le produit S» S^ contien-