S" = SS

Supposons maintenant que les séries (i) et (2) renferment des termes positifs et des termes négatifs, mais qu'elles restent convergentes quand on y remplace chaque terme négatif par sa valeur absolue.

On a

S» S'^ — S* = «„, P„i -+- ( «„-t «^n-î -f- ««- j Pn-1 ) -4- . . .

et nous venons de voir que cette quantité tend vers zéro quand n augmente indéfiniment dans le cas où les quantités M et V sont positives. Or, d'après notre hypothèse, les séries (i) et (2) restent convergentes quand on y change le signe des termes négatifs : donc la somme précédente

tendra vers zéro avec - si l'on y remplace chaque quantité IX ou ^ par sa valeur absolue. Or un tel changement

l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ne peut que diminuer la valeur absolue de la somme que nous considérons y et par conséquent on a

liin(S„S'„-S;) = o,

pour 71 = 00 . Aînsi S^ tend encore vers une limite déterminée S^^ et Ton a