II I I
on reconnaît immédiatement que, dans cet exemple, la série (3) est divergente.
Expression de la ^valeur que prend, pour x = x© -f- A, une fonction qui s'annule, ai^ec ses n — i premières dérivées, pour x = Xo,
105. Soient y (x) et F[x) deux fonctions de x qui restent continues pour les valeurs de x comprises entre Xq etxo-hh et qui aient, pour ces mêmes valeurs, des dérivées déterminées. Si la dérivée F'(x) ne peut devenir nulle ou infinie que pour les valeurs extrêmes Xq, Xo-hh, on aura, d'après le théorème du n** 17,
Ai désignant une quantité comprise entre zéro et A. Dans le cas où Ton a
chapithe V. l5i
la formule précédente se réduit à
Supposons que les fonctions y (a:), P'(x) restent continues pour les valeurs de x comprises entre Xo et Xo-k-hj qu'elles aient dans cet intervalle des dérivées déterminées /"[x)j ¥"[x)j et que F'' (a:) ne puisse devenir nulle ou infinie qu'aux limites Xo, Xq -f- h. Si Ton a
on aura aussi, d'après ce qui précède, '
F'(^o-+-AO""F"(^o -+-/!,)'
As étant une quantité comprise entre zéro et h{.
Supposons généralement que les fonctions y(j:), F(x) restent continues pour les valeurs de x comprises entre Xo et Xo -f- A, ainsi que toutes les dérivées jusqu'à celle de l'ordre n — i inclusivement, que les dérivées d'ordre n aient des valeurs déterminées et que la dérivée Ff''^(x) ne puisse être nulle ou infinie qu'aux limites Xq, x^-\-h. Si l'on a
F(xo)=0, F(2ro) = o, ..., F(«-')(xo)=ro
on aura évidemment, par l'application de la formule (i),
hi, hif , . , yhfi étant des quantités de même signe et dont les valeurs absolues forment une suite décroissante. Si 0 désigne une quantité comprise entre o et i, on pourra poser
iSl CALCUL DIFFÉREIÏTIEL.
et Ton aura
^ ^ F(xo-f-A)'~F(«)(aro+0^)'
Faisons mainleDant
F(x) = (x — ^o)"t d'où
FW(x) = /i(/ï — i) . . . (/i — m + i) (a: — xo)'*-^
et
F(«)(jr)=ri.2.3.../i;
lesv conditions auxquelles F(x) a été assujettie seront toutes remplies, et la formule (2) donnera
Cette formule (3) est celle que nous voulions établir. Elle suppose la continuité dey(x) et des « — i premières dérivées de cette fonction pour les valeurs de x comprises entre 0*0 et Xq -h /i ; elle exige en outre que la dérivée d'ordre n ait une valeur déterminée pour chaque valeur dex comprise entre les mêmes limites, et que Ton ait
(4) /(xo) = o, /'(^o)=-o /-i(xo) = o.
Si toutes ces conditions sont remplies et que h soit pris pour infiniment petit principal, /"(xo -H A) sera un infiniment petit de l'ordre n. On dit alors que Téquation f[x) = o admet la racine Xq avec un degré de multiplicité égal à 72.
Formule de Tajlor,
106. Soit F(x) une fonction de la variable x qui reste continue ainsi que ses n — i premières dérivées pour les valeurs de x comprises entre Xq et Xq -H A, et dont la dérivée d'ordre n ait une valeur déterminée. Désignons
