I.2...(/I — Ij ' I.2.../Z

Nous remplacerons Xq par x et nous écrirons

Fix + h) = F(x) -I- - F'(x) 4- — F^(x) -f- (3) i ^„-.

I,2...(/l — iJ ^ '

l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en posant

(4) R„=:r ^'*— F(«)(ar+ÔA).

La formule (3) suppose, nous devons le répéter, que la fonction F et ses n — i premières dérivées soient continues pour les valeurs de la variable comprises entre x et a: 4- A ; elle exige en outre que la dérivée d'ordre n ait une valeur déterminée.

Supposons maintenant que toutes les dérivées successives de la fonction F satisfassent à la condition de la continuité et qu'en outre la quantité R,i tende vers zéro, quand n tend vers l'infini, on aura, par la formule (3),

Cette formule (5) est celle de Taylor; elle donne le développement de F (x-i- A) en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de A, quand les conditions que nous avons mentionnées sont remplies. La quantité R^ déterminée par la formule (4) est le reste de la série ; cette formule (4) fait connaître ainsi des limites de l'erreur commise quand on arrête la série au /i**"* terme.

107. Autre forme du reste. — On peut donner au reste R^ une forme différente de celle à laquelle nous avons été conduit et qui est souvent utile. Pour l'obtenir, remplaçons h par z — x dans la formule (3); le reste R/, deviendra une fonction de x et de z, mais nous le désignerons simplement pary(x). On aura

F(*) =F(x) -^ i=^F'(x) + (";iii* F'(x) + . . .