CHAPITRE V

le plus ^rand entier contenu dans /x, la formule (3) subsistera pour j: = Xo, pourvu que n ne soit pas supérieur à m, car la (m H- i)»*"« dérivée de F(x) devient infinie pour af= Xq,

2" Il ne suffit pas que le second membre de la formule de Taylor soit une série convergente pour qu'on soit en droit d'affirmer l'exactitude de cette formule. Par exemple, si Ton pose

f{x) étant une fonction à laquelle la formule de Taylor est applicable dans l'hypothèse de x=:Xof on aura, quel que soit rif

par les règles qui seront établies plus loin. Ainsi , dans cet exemple y le second membre de la formule (5) du n** 106 convergera vers la limite /[xo-h h) et non pas vers F(xo -t- A). Pour pouvoir faire usage de la formule, il faut donc avoir établi que le reste R;, tend vers la limite zéro.

3** Si l'on arrête la série de Taylor à un terme quel-

conque Un = ■ — ^^ — ( qui ne soit pas nul, on peut

prendre h assez petit pour que ce terme surpasse en valeur absolue le reste R^. En effet, on a R^^i = a^ -h R;i, 'd'où

Rn __ Rn-1 — "n FC»-^) ( J? -h QA ) — F(»"V.r ) ^

ce rapport est infiniment petit en même temps que h ; il sera donc moindre qu'une quantité quelconque donnée, si l'on donne à h une valeur suffisamment petite.

4^ Si pour chaque valeur de la variable comprise

l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

entre x et x-hh la dérivée d'ordre n de F reste finie , quel que soit n, la formule de Taylor a lieu nécessairement.

En effet, Fexpression du reste peut se mettre *sous la forme

R„— - - ^ X FC») JT -+- 0A .

Quelle que soit la valeur donnée de h^ le nombre i de celles des fractions

qui sont inférieures à une quantité donnée OLy est limité. Désignons par P;^ le produit de ces i fractions multiplié par F^^J (or-f-S/i), qui est par hj^pothèse une quantité finie ; il est évident que la valeur absolue de R^ sera inférieure à la valeur absolue du produit P^a""'. On peut prendre pour a une quantité quelconque inférieure à Tunité ; alors a""' tend vers zéro quand n tend vers Finfini, tandis que P„ conserve une valeur finie ; donc R« tend vers la limite zéro.

Formule de Maclaurin.

110. Si l'on fait a: = o dans la formule (3) du n° 10& et qu'ensuite on écrive x au lieu de hj il viendra

en même temps, les formules (4) et (lo) du même numéro donneront

1 • ji • • * /•