CHAPITRE V. iSp
et
0 désignaiil; dans la formule (2) et dans la formule (3) une quantité comprise entre o et i . Rappelons enfin que la formule (i) suppose que la fonction F reste continue ainsi que ses dérivées pour les valeurs de la variable comprises entre zéro et x.
Si toutes les dérivées de la fonction F satisfont à la condition relative à la continuité et que la quantité R» tende vers zéro quand 7t tend vers Tinfini, la formule (i) donnera la valeur de F(j:) développée en série convergente, ordonnée suivant les puissances entières et posi-^ tives de x, savoir
(4) Fi.r) = F(o)-f--F'(o^.-h— F»-f>-^F»H.....
La formule (4) est celle de Maclaurin; la formule (2) ou (3) fait connaître des limites de l'erreur commise quand on arrête la série à un terme quelconque.
Remarque. — La formule de Maclaurin résulte immédiatement de celle de Tajlor, mais la réciproque a lieu aussi. On obtient effectivement la formule de Taylor OA appliquant celle de Maclaurin à la fonction
et en changeant ensuite h en x.
La formule de Maclaurin a lieu, comme celle de Taylor, lorsque la dérivée d'ordre n de la fonction F reste finie, quel que soit n, pour les valeurs de la variable comprises entre zéro et x.
m . Tout développement d ^ une fonction ¥[x) en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
croissantes de x est nécessairement identique avec celui qui est fourni par la formule de Maclaurin.
Car supposons que Fod ait, par la formule de Maclaurin,
F(.r) =Ao-+- AiX4- Ajx» , ..,
et que l'on ait Irouvé, par une voie quelconque^
F(x) = ûo H-^i-^ + ^t^ ...»
les deux séries étant supposées convergentes pour les valeurs de X comprises entre zéro et une certaine limite X, on aura
Ao H- A^ar -i- A,j:* -f- . . . r= <iç -h a^x -t- «jX* H- . . . . Cette égalité ayant lieu pour a: = o, on en conclut
Ao ■-= «0»
et Ton a, par suite,
Ajx -h A,.r* -h . . . = flj X -4- a^x^ -4- . . . ,
ou
Al -f- Aj j? + . . . = ûi -4- a^3c + . . . ,
pour toutes les valeurs de x comprises entre zéro et X. L'hypothèse a: = o donne ensuite
Al = fli,
puis
Aj H- AjX H- . . . = ûj 4- a^o: -m • • • ^
ce qui donne
et ainsi de suite.
Développement de la fonction e* en série ordonnée suivant les puissances entières de x.
112. Les dérivées successives de la fonction e* sont égales à cette fonction et ainsi elles restent finies quelle
