CHAPITRE III

posant t=x * et mettant 2/? — i au lieu de p, il vient

J i-\- X smpn

ce qui est la formule démontrée au n? 489. Notre analyse suppose ici que p est compris entre o et -9 mais la

formule précédente subsiste pour les valeurs de p comprises entre o et i, car l'intégrale du premier membre

reste la même quand on change x en - et p en i — p,

532. Soit q un nombre compris entre o et i, et supposonsp^^. Multiplions chacune des équations (7) par

t^-^dc = a'i tang ^-* © — ?- >

et intégrons ensuite det = oàt = -l-QO ou de y = o à f=~; dans les premiers membres, l'intégration

pourra être exécutée sous le signe I et IN

on aura

/ x'*-* er^' f ti"^ costxdi\€ix= ~^ j cos/^^^* f sin^-* 7 cosp ç) df,

/ j:/^-*tf-«^ / t^-^ sin t X dt \dx== --j;^ I cos'"-^-*ysiny-*5>8in/7ydç>.

D'après les formules (8)^ les intégrales relatives à t qui figurent dans les premiers membres des précédentes équations ont respectivement pour valeurs

cos-^— > ■ -• sm-—; x9 2 x^ 2 '

196 GALCtTL INTÉGIliL*

ces premiers membres sont donc

r ( ^ ) cos — I xP-^"^ e-^tix,

r(i7) sin i^ I xP-^-^c'^'^dx, ou

on a donc

Si Ton suppose q=^p — i, on aura F (p — y) = i,

r(y)= ~^-7 et, par suite,

I sin'^^ocoso©^© = sîn — >

1 sîn'^^y sin/>f c/^ = ces — 5

dans ces formules (12), le nombre ;; est supposé >• i.

Dans les formules (11)9 q doit être <^ i ; mais, comme les membres de chacune d'elles sont des fonctions continues de q toujours égales entre elles, Tégalité aura lieu

cnAPiTRB m. X97

encore pour y = i î on a ainsi

cos''""*^ ànpfiif =

Ces formules supposent encore p ^ x; il faut remarquer qu'on peut en tirer les formules (la) par le changement

de f en 9, et inversement.

Si Ton remplace T (g) par -; -, r dans la se-

*^ V7/ r 8m^irr(i — ^)

conde équation (i i), et que Ton fasse ensuite ^ se o^ il viendra

(.4) fcosP-,2lî^df = ÎI;

* ^' J ^ sm^ ^ a'

dans cette formule, p doit être positif; mais Tintégrale a une valeur constante indépendante de p,