CHAPITRE m

— \ £i. Jx est

égal à H — ou à (n° 495), selon que y est inférieur ou supérieur à a-i- z] donc on a

« ety en difTérentiant par rapport à a^

,r(a-f.z)«-ie-(«-^*).

En diiTérentiant aussi Féquation (17) par rapport à a, on a

, dx— r r- i z^-^e-^dz.

etFon obtient enfin la formule suivante, que nous voulions établir :

où /t désigne un nombre positif quelconque. Lorsque n

est un entier, on a

Pour 71 = I , on retrouve la formule

cosaxdx 1

déjà obtenue au n^ ^96 . Pour /i = a, on a

cosaxdx ir

ii + x«/ 4

200 CALCUL IITTÊGRAL.

534. La formiile (i8) va nous conduire à d'autres intégrales définies qui ont quelque importance. Reprenons la première formule (7), savoir

xP-^ tf-*'cosrx dx =z — -i cos'' f cospff o

où Ton a

t = a tangy;

multiplions-la par

dt adf

(1 -i- /')'» cos'ç) (i -nfl*tang*y)"'

et intégrons ensuite de t=oàf = 00 oude(j = o à9= -;

en effectuant l'intégration sous le signe I , dans le premier membre, on aura

Mais, d'après la formule (18), l'intégrale relative àf qui

figure en facteur sous le signe / , dans le premier membre , a pour valeur

[r(/«)]Vo ^ ^

ou en mettant x/ au lieu de z, xdy au lieu de dz.

Si donc on multiplie par xP"* e^^^dxj et qu'on intègre de o à 00 , on obtiendra un résultat dont la valeur sera celle de l'intégrale contenue dans le premier membre de