CHAPITRE III. « aOI

la formule (ao); on a, par conséquent.

dans le premier membre, l'intégrale relative à a: a pour valeur

r(2/» + jp — i)

donc

Lorsque a =i, l'intégrale qui figure dans le second membre se réduit à

on a donc

ou, en faisant ^ + 271 — 2 = y,

Cette formule (22) a été démontrée pour la première fois

aoa CALCUL ibtégeal.

par Cauchy. Dans le cas deq =pf elle se rédalt à une formiile obtenue par Poisson, savoir :

(î>.3) / COSPfCOSpfdf=::

jjP-f-l

Si Ton fait /i = i dans la formule (ai), l'intégrale du second membre se réduit à

on a donc

- , r cos^'y cos/7^efy ir aP-"^

^ ^^ J cos*y-|-<7*siii*^ 2(a + i

ce qui se réduit à la formule (a3), quand on suppose /i = I.

Sur révaluation approchée du produit i.a.3...j:, quand x est un grand nombre.

535. Le logarithme du produit des x premiers nombres entiers peut être exprimé par une série qui procède suivant les puissances entières et négatives de x. Cette série célèbre est celle de Stirling, et elle a fait l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres, parmi lesquels je dois spécialement mentionner Cauchy, Binet, M. Malmsten et M. Liouville. Mais, parmi les démonstrations diverses qu'on possède de cette formule, je ne crois pas qu'il y en ait dé plus simple que celle que j'ai présentée, il y a quelques années, à l'Académie des Sciences, et que j'ai reproduite en partie dans la quatrième édition de mon Cours d'Algèbre supérieure. J'ai montré que la formule connue de Wallis suiBt pour éta-

CHAPITEE III • ao3

blir complètement celle de StirliDg^ et la déduction est si facile y que la deuxième formule peut en quelque sorte être regardée comme une transformée de la première. Ces développements se rattachent essentiellement à la théorie des intégrales eulériennes, et je crois utile de les présenter ici.