La formule de Wallis est (n
ir 2244 ^-^ — ^' '^^ — 2 IX
- = — .-..... . . ( pour j? = 00 ),
2 I 3 3 5 IX — 2 2x — I 2J7 — 1 ^"^ '
et elle prend la forme très-simple
OU, en extrayant la racine carrée,
(,) ^^ = t (pour* = «
si l'on désigne par <f{x) soit Texpression
V27rj: «
soit le produit de cette même expression par une exponentielle de la forme a^j a étant une constante quelconque. La formule (i) aura donc lieu si, désignant par e la base des logarithmes népériens, on pose
On tire de la formule ( 2 )
(3) -iLW-^i/'.^ir"*^,— ('-i)'«.(«H)
^ ' ^(ar-hlj e \ x]
OU
204 CALCUL IITTÉGRAL.
la caractéristique log exprimant des logarithmes népériens. Or on a, x étant > i ,
d'où
laor* 12a:* a/i(«H-lJ «'*
donc
ff[x)
log
I2X* I2X* ^oï* *" 2/2(/l-4-l) or'* ^^•••'
Dans cette série, les termes sont alternativement positifs et négatifs; en outre, la valeur absolue du rapport du terme de rang n au précédent est
ce rapport est égal à - pour tz = a, mais il est inférieur
à - pour toutes les valeurs de n supérieures à 2 ; donc,
lors même que x se réduirait à i , les valeurs absolues des termes de la série ( 5 ) décroissent à partir du deuxième terme. Il résulte évidemment de là que Ton a
,og iM< »--
ou
CHAPITRC III. 203
Mais on peut assigiier une limite de -— — L^ inférieure
à la précédente, et, comme elle nous sera utile plus loin, il convient de l'indiquer ici.
Si Ton multiplie la formule (5) par j: + 1^ il viendra
X4-I log / \^ . =: — -f-...
dans cette série, le terme en --^ manque; les autres termes sont alternativement positifs et négatifs, et le rapport du terme en — au terme en -^^^ a pour valeur absolue
\n — i)(/i — 2)-t-2(« — 4) *' ce rapport est égal à - pour /z = 4i niais il est inférieur
à - pour 71 ^ 4* Donc les termes diminuent à partir du deuxième, lors même que x serait égal à i, et l'on a
(x-H,)log-/M^<-I-, ou
La formule (6) montre que Ton a
00 étant un nombre positif inférieur à — \ on aura aussi, en changeant a: en x-hi» x + a, ..., ax — x, et en dé-
2o6 CALCUL IlfTÉGRÂL.
signant par 0o ^if --m ^x-i des nombres compris entre
o et — 9
Multiplions entre elles les égalités (8) et (9); comme la somme des x fractions
est moindre que r Xx ou que ? on aura
0 étant un nombre compris entre o et — \ et par suite
(11) , , =1 (pour x = 00).
Si maintenant on divise la formule ( i ) par la formule (11), il viendra
(12) <f{x) = i (pourx=rCo), c'est-à-dire, à cause delà formule (2),
(i3) 1 .2.3. . •x= y'2llre~''x''^'*"î(l + e^p),
€x désignant une quantité positive qui s'annule pour x =: 00 , et dont nous allons faire connaître une limite supérieure*
