Oi a

(l4) r(jr-+- i) = l.2.3. . .a?,

et je dis qu'on peut obtenir, par ce qui précède, une expression exacte de la fonction r(j:-hi), ou, ce qui revient au même, une expression du logarithme népérien \ogT[x-hi) lorsque x est entier. On a d'abord, par la formule (a),

(i5) logr(arH-i)=:-log27r — ;ir-f- Ix -H - | logJ: -h logî>(^),

et Ton a ensuite identiquement

logy ^x = log /^ / > + log H — — { -h. . .

(p{x •+• yn) 4- log — ^-i r + log y ( x + m -f- 1 ) ;

mais, si l'entier m croît indéfiniment, cy (j: -hm-}-i) tend vers l'unité, d'après la formule (12), et son logarithme tend vers zéro ; çn a donc

(16) logy(x) = y log ;(* + '»)

OU, d'après la formule (4)y

(,7)logf(x) = ^[(x+m+l)log(, + -^)-,]

ms:0

et l'on aura en conséquence

logr(x4-i)= - log27r — a? 4- 14? H J log;

in=«o

in=0

^|^(^+„4-i)log(.+^)-iJ

ao8 GiLcuL ihtégrAl*

Cette formule (i8), qui a été rencontrée par Gudermann, se déduit bien facilement, comme on le voit, de la simple formule de Wallis.

538. Comme la quantité log(f(x) est positive, la formule (i5) nous donne d'abord

(19) logr(a?-hi)]> - log27r — x-h (xH — j logx.

Ensuite nous aurons, parla formule (16), à cause de rinégaUté (7),

or la fraction -, r-, 1 se décompose en

donc on peut écrire iaiogf»(x)<( i —] -h l— î — )

^^^ \* «4-1/ \x-hl 4P 4- 2/

La série contenue dans le second membre de cette formule a pour somme -9 et l'on a en conséquence

puis

(20) logr(a?-i-i)<-log2ir— a:+fx-F -j logjr-f- -j^-

Les formules ( 19) et (20) nous donnent les deux limites

GHIPITRE III. aog

qae nous voulions trouver. En revenant des logarithmes aux nombres, on obtient

, . I 1 .2.3. . .x">i/2ire~*j?*'*"»,

(ai) j ^ , t

Extension des formules précédentes au cas où x nest

pas un nombre entier positif,

539. L'analyse précédente suppose que x est un entier positif; mais le second membre de l'équation ( 1 8) du n*^537 est une fonction dans laquelle x est susceptible de recevoir une valeur quelconque ; en exceptant le cas où x est un entier négatif, la série qui figure dans la formule citée esttoujoursconvergentCyCarses termes, ainsi qu'il est aisé

de s'en assurer, décroissent comme ceux de la série \ —i '

Cela posé, je dis que la formule dont il s'agit subsiste, quel que soit Xy en se conformant à la définition générale que nous avons donnée de la fonction F. Cette définition est exprimée par la formule ( 8) du n^ 521 , qui donne, en

remplaçant x par a: -4- i et en écrivant, sous le signe N » m + I au lieu de m,

Pour prouver l'identité des valeurs de logr(j:-f- 1), données parla précédente équation et parla formule (i8) du n^ 537, il sufiit de les différentier deux fois; on tire de l'une et de l'autre

Iftsst»

il'

rf'Iogr(jr4- 0 V

S. — Caie^ int. i4

2IO CÀLGI3L IHTÉGIIÂL.

les seconds membres des deux formules ont donc leurs secondes dérivées égales; en conséquence, ils ne peuvent différer que par une fonction linéaire de x; mais, comme ils sont égaux par les valeurs entières et positives de x, il s'ensuit que leur différence se réduit nécessairement à zéro.

Formule de Stirling,

540. Il est facile d'exprimer la fonction logcpfx) par une intégrale définie. On trouve, en différentiant deux fois de suite la formule (17) du n" 537,

dx IX ^ L \ x-\-m) xH-wiJ

rf'logy(jr) I

masO

Or on a, pour toute valeur positive de z,

- := I er^doL, — =r / e-^^oLdcLi si donc la variable x reste positive, on aura

m=zm

et, comme la quantité \ e'"'"* est égale à ^j on a

in=0

rf«logy('jr)

dix»

intégrant deux fois et observant que les fonctions log9>(x)