CHAPITRE m. a2i

et enfin, à cause de la première des inégalités (i6),

^ " O x \ei:x/

limite qu'il est facile de calculer par logarithmes.

Nous avons vu que, six est entier, le décroissement des termes de la série a toujours lieu, jusqu'à ce que n soit égal kix'j si l'on fait n=3x, la formule (17 ) devient

ety parce que x est au moins égal à i , on aura, à plus forte raison,

, /3\ J JL «i

mais on a

donc

«.*< o, 393409... ^j ^ij ,

ou, en prenant les logarithmes vulgaires des deux membres ,

(i8) logf,^ <T,594844-*-ilogi;4-(3, 3942331)*.

Pour X = I , on a déjà

iog«»< 4» 98907751

et par conséquent €« <[ j pour x = lo, on a

log«ïo<a7>«>47'75»

et l'on voit que, dans cet exemple de x= 10, on peut

222 GÀLGTTL INTÉGRAL.

pousser le calcul de logr(x -+- 1) jusqu'à la vîngt-sîxième décimale, en s'arrétant au terme multiplié par B30.

La formule (17) montre, comme nous l'avions annoncé, que la formule de Stirling permet de calculer généralement logr(a7 -+- i) avec une approximation qui sera d'autant plus grande que x sera plus considérable.

546. On obtient des formules utiles en différentiant une ou plusieurs fois la formule de Stirling ; mais, comme cette dernière renferme une série divergente, il en sera de même de celles que nous avons en vue. Cependant celles-ci peuvent servir, comme la formule de Stirling, pour le calcul numérique ; c'est ce que nous allons établir. A cet effet, remarquons que la quantité 0, qui

figure sous le signe f dans le dernier terme du second

membre de la formule (7), est indépendante de x; on aura donc, en différentiant fx fois cette équation^

i.a. . .[in -h 2) J '

puis, en procédant comme nous l'avons fait, pour déduire la formule (8) de (7), on trouvera

f,v^!l^?i^B £l/i±l] JL^îi i>±3) I

^ ' ^»* * r(3) x^^ ^' r[5pii^^'